Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $m\le \dfrac{4}{3}$.
B. $m\ge \dfrac{1}{3}$.
C. $m\ge \dfrac{4}{3}$.
D. $m\le \dfrac{1}{3}$.
A. $m\le \dfrac{4}{3}$.
B. $m\ge \dfrac{1}{3}$.
C. $m\ge \dfrac{4}{3}$.
D. $m\le \dfrac{1}{3}$.
Tập xác định $D=\mathbb{R}$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+2x+m$.
Khi đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi
${y}'\ge 0 ,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2x+m\ge 0 ,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}-2x ,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}-2x ,\forall x\in \mathbb{R}$ (1).
Xét hàm số $g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-2x=-3{{\left( x+\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{3}\le \dfrac{1}{3} ,\forall x\in \mathbb{R}$ hay $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}$.
Từ (1) suy ra $m\ge \dfrac{1}{3}$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+2x+m$.
Khi đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi
${y}'\ge 0 ,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+2x+m\ge 0 ,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}-2x ,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\ge -3{{x}^{2}}-2x ,\forall x\in \mathbb{R}$ (1).
Xét hàm số $g\left( x \right)=-3{{x}^{2}}-2x=-3{{\left( x+\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{1}{3}\le \dfrac{1}{3} ,\forall x\in \mathbb{R}$ hay $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{max}} g\left( x \right)=\dfrac{1}{3}$.
Từ (1) suy ra $m\ge \dfrac{1}{3}$.
Đáp án B.