Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}$ đạt cực tiểu tại $x=0$.
A. $m\le 0$.
B. $m=0$.
C. $m\ge 0$.
D. $m>0$.
A. $m\le 0$.
B. $m=0$.
C. $m\ge 0$.
D. $m>0$.
Ta có: $y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}\Rightarrow {y}'=4{{x}^{3}}+2mx=2x\left( 2{{x}^{2}}+m \right)$
${y}'=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{-m}{2} \\
\end{aligned} \right.$
• Nếu $m\ge 0$ ta có bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
• Nếu $m<0$ ta có bảng biến thiên:
Suy ra hàm số đạt cực đại tại $x=0$.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ khi $m\ge 0$.
${y}'=0\Leftrightarrow 2x\left( 2{{x}^{2}}+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{-m}{2} \\
\end{aligned} \right.$
• Nếu $m\ge 0$ ta có bảng biến thiên:
x | $-\infty $ | | 0 | | $+\infty $ |
${y}'$ | | – | 0 | + | |
y | $-\infty $ | -5905522352000 | 0 | 2476521209000 | $+\infty $ |
• Nếu $m<0$ ta có bảng biến thiên:
x | $-\infty $ | | ${{x}_{1}}$ | | 0 | | ${{x}_{2}}$ | | $+\infty $ |
${y}'$ | | – | 0 | + | 0 | – | 0 | + | |
y | $+\infty $ | -3302010922000 | $-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}$ | -2286014351000 | 0 | 444512700000 | $-\dfrac{{{m}^{2}}}{4}$ | 444510160000 | $+\infty $ |
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ khi $m\ge 0$.
Đáp án C.