Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y={{\sin }^{3}}x-3{{\cos }^{2}}x-m\sin x-1$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$.
A. $m>-3$.
B. $m\le 0$.
C. $m\le -3$.
D. $m>0$.
A. $m>-3$.
B. $m\le 0$.
C. $m\le -3$.
D. $m>0$.
Ta có $y={{\sin }^{3}}x-3{{\cos }^{2}}x-m\sin x-1={{\sin }^{3}}x+3{{\sin }^{2}}x-m\sin x-4$
Đặt $\sin x=t,x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$.
Để hàm số $y={{\sin }^{3}}x-3{{\cos }^{2}}x-m\sin x-1$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$ thì hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-mt-4$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$.
Tức là: ${f}'\left( t \right)\ge 0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+6t-m\ge 0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$
$\Leftrightarrow m\le 3{{t}^{2}}+6t,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=3{{t}^{2}}+6t$ trên $\left[ 0;1 \right]$.
${g}'\left( t \right)=6t+6$
${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có $m\le 3{{t}^{2}}+6t,\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow m\le 0$.
Đặt $\sin x=t,x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$.
Để hàm số $y={{\sin }^{3}}x-3{{\cos }^{2}}x-m\sin x-1$ đồng biến trên đoạn $\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]$ thì hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+3{{t}^{2}}-mt-4$ đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$.
Tức là: ${f}'\left( t \right)\ge 0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}+6t-m\ge 0,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$
$\Leftrightarrow m\le 3{{t}^{2}}+6t,\forall t\in \left[ 0;1 \right]$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=3{{t}^{2}}+6t$ trên $\left[ 0;1 \right]$.
${g}'\left( t \right)=6t+6$
${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=-1$.
Bảng biến thiên
Đáp án B.