Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\dfrac{{{e}^{-2x}}+m}{m{{e}^{-2x}}+1}$ đồng biến trên khoảng $\left( \ln 2;+\infty \right).$

Phương pháp:
- Đặt $t={{e}^{-2x}}\Rightarrow t\in \left( 0;\dfrac{1}{4} \right),$ đưa hàm số về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất ẩn $t.$
- Hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ đồng (nghịch) biến trên $\left( a;b \right)$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& y'>0\left( y'<0 \right) \\
& -\dfrac{d}{c}\notin \left( a;b \right) \\
\end{aligned} \right.$
Cách giải:
Đặt $t={{e}^{-2x}}.$ Với $x\in \left( \ln 2;+\infty \right)\Rightarrow t\in \left( 0;\dfrac{1}{4} \right),$ đồng thời $x,t$ trái nhau về tính đơn điệu.
Do đó để hàm số $y=\dfrac{{{e}^{-2x}}+m}{m{{e}^{-2x}}+1}$ đồng biến trên $\left( \ln 2;+\infty \right)$ thì hàm số $y=\dfrac{t+m}{mt+1}$ nghịch biến trên $\left( 0;\dfrac{1}{4} \right).$
Ta có $y'=\dfrac{1-{{m}^{2}}}{{{\left( mt+1 \right)}^{2}}}\forall t\ne -\dfrac{1}{m}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-{{m}^{2}}<0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& -\dfrac{1}{m}\le 0 \\
& -\dfrac{1}{m}\ge \dfrac{1}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m<-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& -4\le m<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>1 \\
& -4\le m<-1 \\
\end{aligned} \right..$