Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\dfrac{\cot x-1}{m\cot x-1}$ đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right)$.
A. $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;0 \right]$.
C. $m\in \left( 1;+\infty \right)$.
D. $m\in \left( -\infty ;1 \right]$.
A. $m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( -\infty ;0 \right]$.
C. $m\in \left( 1;+\infty \right)$.
D. $m\in \left( -\infty ;1 \right]$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{-\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)\left( m\cot x-1 \right)+m\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)\left( \cot x-1 \right)}{{{\left( m\cot x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)\left( 1-m \right)}{{{\left( m\cot x-1 \right)}^{2}}}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& m\cot x-1\ne 0,\forall x\in \left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right) \\
& {y}'=\dfrac{\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)\left( 1-m \right)}{{{\left( m\cot x-1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& 1-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 0$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right)$ khi và chỉ khi:
$\left\{ \begin{aligned}
& m\cot x-1\ne 0,\forall x\in \left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right) \\
& {y}'=\dfrac{\left( 1+{{\cot }^{2}}x \right)\left( 1-m \right)}{{{\left( m\cot x-1 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in \left( \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\ge 1 \\
\end{aligned} \right. \\
& 1-m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 0$.
Đáp án B.