Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\ \left(C \right)$ cắt đường thẳng $d:y=m\left(x-1 \right)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5$.
A. $\left( 2; 5 \right]$.
B. $m\in \left( -3; 2 \right]$.
C. $\left[ -7;-3 \right)$.
D. $\left( 5; 8 \right]$.
A. $\left( 2; 5 \right]$.
B. $m\in \left( -3; 2 \right]$.
C. $\left[ -7;-3 \right)$.
D. $\left( 5; 8 \right]$.
Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=m\left( x-1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-2 \right)=m\left( x-1 \right) \\
& \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-2-m \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x-2-m=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& 1+2+m>0 \\
& 1-2-2-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-3 \\
& m\ne -3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>-3$
Phương trình có ba nghiệm thỏa $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5\Leftrightarrow x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ với ${{x}_{2}};{{x}_{3}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2x-2-m=0$.
Áp dụng định lý Vi – ét ta có:
$\begin{aligned}
& S={{x}_{2}}+{{x}_{3}}=2 \\
& P={{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-2-m \\
\end{aligned}$
Ta có $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5\Leftrightarrow {{S}^{2}}-4P=5\Leftrightarrow 4-4\left( -2-m \right)=5\Leftrightarrow m=-\dfrac{7}{4}$
Vậy $m\in \left( -3;2 \right]$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-2 \right)=m\left( x-1 \right) \\
& \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-2-m \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-2x-2-m=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& 1+2+m>0 \\
& 1-2-2-m\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>-3 \\
& m\ne -3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>-3$
Phương trình có ba nghiệm thỏa $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5\Leftrightarrow x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ với ${{x}_{2}};{{x}_{3}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-2x-2-m=0$.
Áp dụng định lý Vi – ét ta có:
$\begin{aligned}
& S={{x}_{2}}+{{x}_{3}}=2 \\
& P={{x}_{2}}.{{x}_{3}}=-2-m \\
\end{aligned}$
Ta có $x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5\Leftrightarrow {{S}^{2}}-4P=5\Leftrightarrow 4-4\left( -2-m \right)=5\Leftrightarrow m=-\dfrac{7}{4}$
Vậy $m\in \left( -3;2 \right]$
Đáp án B.