Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình ${{\log }_{2}}\left(7{{x}^{2}}+7 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m...

Phương pháp:
- Giải bất phương trình logarit cơ bản: ${{\log }_{a}}f\left( x \right)\ge {{\log }_{a}}g\left( x \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge g\left( x \right)>0$ với $a>1.$
- Sử dụng xét dấu tam thức bậc hai: $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c\left( a\ne 0 \right).$ Khi đó $f\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta <0 \\
\end{aligned} \right.$
Cách giải:
Bất phương trình tương đương $7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m>0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( 7-m \right){{x}^{2}}-4x+7-m\ge 0\left( 2 \right) \\
& m{{x}^{2}}+4x+m>0\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \mathbb{R}\left( 1 \right)$
* TH1: $m=7:\left( 2 \right)\Leftrightarrow -4x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0$ không thỏa $\forall x\in \mathbb{R}$
* TH2: $m=0:\left( 3 \right)\Leftrightarrow 4x>0\Leftrightarrow x>0$ không thỏa $\forall x\in \mathbb{R}$
* TH3: (1) thỏa $\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 7-m>0 \\
& \Delta {{'}_{2}}=4-{{\left( 7-m \right)}^{2}}\le 0 \\
& m>0 \\
& \Delta _{3}^{'}=4-{{m}^{2}}<0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<7 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 9 \\
& m\le 5 \\
\end{aligned} \right. \\
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>2 \\
& m<-2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 5.$
Vậy $m\in \left( 2;5 \right].$