Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a\left( a>0 \right)$ thoả mãn ${{\left( {{2}^{a}}+\dfrac{1}{{{2}^{a}}} \right)}^{2017}}\le {{\left( {{2}^{2017}}+\dfrac{1}{{{2}^{2017}}} \right)}^{a}}$.
A. $0<a<1$.
B. $a\ge 2017$.
C. $1<a<2017$.
D. $0\le a<2017$.
A. $0<a<1$.
B. $a\ge 2017$.
C. $1<a<2017$.
D. $0\le a<2017$.
Từ giả thiết ta có: $2017\ln \left( {{2}^{a}}+\dfrac{1}{{{2}^{a}}} \right)\le a\ln \left( {{2}^{2017}}+\dfrac{1}{{{2}^{2017}}} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln \left( {{2}^{a}}+\dfrac{1}{{{2}^{a}}} \right)}{a}\le \dfrac{\ln \left( {{2}^{2017}}+\dfrac{1}{{{2}^{2017}}} \right)}{2017}$ (do $a>0$ )
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln \left( {{4}^{a}}+1 \right)-\ln {{2}^{a}}}{a}\le \dfrac{\ln \left( {{4}^{2017}}+1 \right)-\ln {{2}^{2017}}}{2017}$
$\Leftrightarrow f\left( a \right)\le f\left( 2017 \right)\left( * \right)$ với $f\left( t \right)=\dfrac{\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)-\ln {{2}^{t}}}{t}\left( t>0 \right)$
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{\left( \dfrac{{{4}^{t}}\ln 4}{{{4}^{t}}+1}-\ln 2 \right)t-\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)+\ln {{2}^{t}}}{{{t}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{t}}\ln {{4}^{t}}-\left( {{4}^{t}}+1 \right)\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)}{\left( {{4}^{t}}+1 \right){{t}^{2}}}$
Xét $g\left( s \right)=s\ln s$ với $s>1$, ta có $g'\left( s \right)=\ln s+1>0\forall \text{s1}$ suy ra $g\left( s \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Mà với $t>0$ ta có $1<{{4}^{t}}<{{4}^{t}}+1$ nên $g\left( {{4}^{t}} \right)<g\left( {{4}^{t}}+1 \right)\Leftrightarrow {{4}^{t}}\ln {{4}^{t}}<\left( {{4}^{t}}+1 \right)\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)$
suy ra $f'\left( t \right)<0\forall t>0$. Vậy $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ; do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow a\ge 2017$.
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln \left( {{2}^{a}}+\dfrac{1}{{{2}^{a}}} \right)}{a}\le \dfrac{\ln \left( {{2}^{2017}}+\dfrac{1}{{{2}^{2017}}} \right)}{2017}$ (do $a>0$ )
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln \left( {{4}^{a}}+1 \right)-\ln {{2}^{a}}}{a}\le \dfrac{\ln \left( {{4}^{2017}}+1 \right)-\ln {{2}^{2017}}}{2017}$
$\Leftrightarrow f\left( a \right)\le f\left( 2017 \right)\left( * \right)$ với $f\left( t \right)=\dfrac{\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)-\ln {{2}^{t}}}{t}\left( t>0 \right)$
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{\left( \dfrac{{{4}^{t}}\ln 4}{{{4}^{t}}+1}-\ln 2 \right)t-\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)+\ln {{2}^{t}}}{{{t}^{2}}}=\dfrac{{{4}^{t}}\ln {{4}^{t}}-\left( {{4}^{t}}+1 \right)\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)}{\left( {{4}^{t}}+1 \right){{t}^{2}}}$
Xét $g\left( s \right)=s\ln s$ với $s>1$, ta có $g'\left( s \right)=\ln s+1>0\forall \text{s1}$ suy ra $g\left( s \right)$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Mà với $t>0$ ta có $1<{{4}^{t}}<{{4}^{t}}+1$ nên $g\left( {{4}^{t}} \right)<g\left( {{4}^{t}}+1 \right)\Leftrightarrow {{4}^{t}}\ln {{4}^{t}}<\left( {{4}^{t}}+1 \right)\ln \left( {{4}^{t}}+1 \right)$
suy ra $f'\left( t \right)<0\forall t>0$. Vậy $f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ; do đó $\left( * \right)\Leftrightarrow a\ge 2017$.
Đáp án B.