Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để phương trình ${{\log }_{3}}{{x}^{2}}+a\sqrt{{{\log }_{3}}{{x}^{3}}}+a+1=0$ có nghiệm duy nhất.
A. $a<-1$.
B. $a>1$.
C. $a<1$.
D. $a>-1$.
A. $a<-1$.
B. $a>1$.
C. $a<1$.
D. $a>-1$.
Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{\log }_{3}}{{x}^{3}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{x}^{3}}\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$.
Với điều kiện trên, ta có:
${{\log }_{3}}{{x}^{2}}+a\sqrt{{{\log }_{3}}{{x}^{3}}}+a+1=0$ $\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}x+a\sqrt{3{{\log }_{3}}x}+a+1=0$.
Đặt $\sqrt{3{{\log }_{3}}x}=t$, $\left( t\ge 0 \right)$ $\Rightarrow {{\log }_{3}}x=\dfrac{{{t}^{2}}}{3}$.
Ta có phương trình $\dfrac{2}{3}{{t}^{2}}+at+a+1=0$ $\Leftrightarrow 3a=-\dfrac{2{{t}^{2}}+3}{t+1}\Rightarrow a<0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$.
Nhận xét:
Xét hàm số $f\left( t \right)=-\dfrac{2{{t}^{2}}+3}{t+1}$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$, ta có:
$f'\left( t \right)=-\dfrac{2{{t}^{2}}+4t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$. Giải phương trình $f'\left( t \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{-2-\sqrt{10}}{2}\left( l \right) \\
& t=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2}\left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên
Phương trình $\dfrac{2}{3}{{t}^{2}}+at+a+1=0$ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng $y=3a$ cắt đồ thị hàm số $y=-\dfrac{2{{t}^{2}}+3}{3t+1}$ tại đúng một điểm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<0 \\
& 3a<-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a<-1$.
& x>0 \\
& {{\log }_{3}}{{x}^{3}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& {{x}^{3}}\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x\ge 1$.
Với điều kiện trên, ta có:
${{\log }_{3}}{{x}^{2}}+a\sqrt{{{\log }_{3}}{{x}^{3}}}+a+1=0$ $\Leftrightarrow 2{{\log }_{3}}x+a\sqrt{3{{\log }_{3}}x}+a+1=0$.
Đặt $\sqrt{3{{\log }_{3}}x}=t$, $\left( t\ge 0 \right)$ $\Rightarrow {{\log }_{3}}x=\dfrac{{{t}^{2}}}{3}$.
Ta có phương trình $\dfrac{2}{3}{{t}^{2}}+at+a+1=0$ $\Leftrightarrow 3a=-\dfrac{2{{t}^{2}}+3}{t+1}\Rightarrow a<0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$.
Nhận xét:
Xét hàm số $f\left( t \right)=-\dfrac{2{{t}^{2}}+3}{t+1}$ trên $\left[ 0;+\infty \right)$, ta có:
$f'\left( t \right)=-\dfrac{2{{t}^{2}}+4t-3}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$. Giải phương trình $f'\left( t \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=\dfrac{-2-\sqrt{10}}{2}\left( l \right) \\
& t=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2}\left( n \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên
Phương trình $\dfrac{2}{3}{{t}^{2}}+at+a+1=0$ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng $y=3a$ cắt đồ thị hàm số $y=-\dfrac{2{{t}^{2}}+3}{3t+1}$ tại đúng một điểm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a<0 \\
& 3a<-3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a<-1$.
Đáp án A.