Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để đường thẳng $y=mx-m$ cắt đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho...

Phương trình hoành độ giao điểm: $mx-m=x^3-3x^2+2\left(1\right)$
$\iff m(x-1)=(x-1)(x^2-2x-2)\iff [\begin{array}{rl}& x-1=0\\ & x^2-2x-2=m\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x^2-2x-2-m=0\left(2\right)\end{array}$
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt $\iff$ Phương trình $\left(1\right)$ có ba nghiệm phân biệt $\iff$ Phương trình $\left(2\right)$ có ba nghiệm phân biệt khác $1$
$\iff \{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1+2+m>0\\ & 1-2-2-m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m>-3\\ & m\ne -3\end{array}\iff m>-3$
Mà $x=1$ cũng là hoành độ điểm uốn của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ và $AB=BC$ nên $B(1;0)$ là trung điểm đoạn $AC$, $A(x_1;m{x}_1-m),C(x_2;m{x}_2-m)$, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $\left(2\right)$.
Theo định lí Viet $x_1+x_2=2$
Ta có $\{\begin{array}{rl}& x_B={\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}}\\ & y_B={\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 1={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\\ & 0={\displaystyle \frac{m{x}_1-m+m{x}_2-m}{2}}\end{array}\left(\mathrm{\forall }m\right)$
Vậy với $m>-3$ thì đường thẳng $y=mx-m$ cắt đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$ tại ba điểm phân biệt $A,B,C$ sao cho $AB=BC$.