Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị nguyên dương nhỏ hơn ${5}$ của tham số ${m}$ để hàm số ${y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x-\dfrac{2}{3}}$ đồng biến trên ${\left( 1;\ +\infty \right)}$.
A. ${6.}$
B. ${5.}$
C. ${4.}$
D. ${3.}$
A. ${6.}$
B. ${5.}$
C. ${4.}$
D. ${3.}$
Ta có: $y'={{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m3.$
Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow y'\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 2m\left( x+1 \right)+{{x}^{2}}-2x-3\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$2m\ge \dfrac{-{{x}^{2}}+2x+3}{x+1} \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 2m\ge -x+3 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 2m\ge 2\Leftrightarrow m\ge 1$
Do $m\in \mathbb{Z}$ và $m<5$ nên ta được 4 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow y'\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-3\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 2m\left( x+1 \right)+{{x}^{2}}-2x-3\ge 0 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$2m\ge \dfrac{-{{x}^{2}}+2x+3}{x+1} \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 2m\ge -x+3 \forall x\in \left( 1;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow 2m\ge 2\Leftrightarrow m\ge 1$
Do $m\in \mathbb{Z}$ và $m<5$ nên ta được 4 giá trị của m thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.