Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ trên $\left( -2021;2021 \right)$ thỏa mãn
$\left( \sqrt{{{m}^{2}}-2m+4}+1-m \right)\left( \sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}} \right)\ge 3$.
A. 2021.
B. 2020.
C. 1.
D. 0.
$\left( \sqrt{{{m}^{2}}-2m+4}+1-m \right)\left( \sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}} \right)\ge 3\Leftrightarrow \left[ \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3}-\left( m-1 \right) \right]\left( \sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}} \right)\ge 3$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3}-\left( m-1 \right)\ge \dfrac{3}{\sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3}-\left( m-1 \right)\ge \sqrt{{{4}^{m}}+3}+{{2}^{m}}\text{ }\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}-x>0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,\forall x$
Mặt khác, $f\left( -x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x$.
Do đó, $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( m-1 \right)\ge f\left( -{{2}^{m}} \right)\Leftrightarrow m-1\le -{{2}^{m}}\Leftrightarrow m+{{2}^{m}}-1\le 0\text{ }\left( ** \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=x+{{2}^{x}}-1$, ${g}'\left( x \right)=1+{{2}^{x}}\text{ln}2>0,\forall x$ và $g\left( 0 \right)=0$.
Như vậy, $\left( ** \right)\Leftrightarrow g\left( m \right)\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le 0$.
Theo bài ta $m\in \mathbb{Z}\cap \left( -2021;2021 \right)$ và $m\le 0$, suy ra $m\in \left\{ -2020;\ldots ,-1;0 \right\}$, tức là có $2021$ giá trị $m$ thỏa mãn.
$\left( \sqrt{{{m}^{2}}-2m+4}+1-m \right)\left( \sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}} \right)\ge 3$.
A. 2021.
B. 2020.
C. 1.
D. 0.
$\left( \sqrt{{{m}^{2}}-2m+4}+1-m \right)\left( \sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}} \right)\ge 3\Leftrightarrow \left[ \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3}-\left( m-1 \right) \right]\left( \sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}} \right)\ge 3$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3}-\left( m-1 \right)\ge \dfrac{3}{\sqrt{{{4}^{m}}+3}-{{2}^{m}}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3}-\left( m-1 \right)\ge \sqrt{{{4}^{m}}+3}+{{2}^{m}}\text{ }\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}-x>0,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}'\left( x \right)=-\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}<0,\forall x$
Mặt khác, $f\left( -x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+x$.
Do đó, $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( m-1 \right)\ge f\left( -{{2}^{m}} \right)\Leftrightarrow m-1\le -{{2}^{m}}\Leftrightarrow m+{{2}^{m}}-1\le 0\text{ }\left( ** \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=x+{{2}^{x}}-1$, ${g}'\left( x \right)=1+{{2}^{x}}\text{ln}2>0,\forall x$ và $g\left( 0 \right)=0$.
Như vậy, $\left( ** \right)\Leftrightarrow g\left( m \right)\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le 0$.
Theo bài ta $m\in \mathbb{Z}\cap \left( -2021;2021 \right)$ và $m\le 0$, suy ra $m\in \left\{ -2020;\ldots ,-1;0 \right\}$, tức là có $2021$ giá trị $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.