Tìm tất cả các giá trị nguyên của $m$ trên $\left( -2021;2021...

The Knowledge · 14/3/22

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị nguyên của

m

trên

(- 2021; 2021)

thỏa mãn

(\sqrt{m^{2} - 2 m + 4} + 1 - m) (\sqrt{4^{m} + 3} - 2^{m}) \geq 3

.
A. 2021.
B. 2020.
C. 1.
D. 0.

(\sqrt{m^{2} - 2 m + 4} + 1 - m) (\sqrt{4^{m} + 3} - 2^{m}) \geq 3 \Leftrightarrow [\sqrt{{(m - 1)}^{2} + 3} - (m - 1)] (\sqrt{4^{m} + 3} - 2^{m}) \geq 3

\Leftrightarrow \sqrt{{(m - 1)}^{2} + 3} - (m - 1) \geq \frac{3}{\sqrt{4^{m} + 3} - 2^{m}} \Leftrightarrow \sqrt{{(m - 1)}^{2} + 3} - (m - 1) \geq \sqrt{4^{m} + 3} + 2^{m} (*)

Xét hàm số

f (x) = \sqrt{x^{2} + 3} - x > 0, \forall x \in R

và

f^{'} (x) = - \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - x}{\sqrt{x^{2} + 3}} < 0, \forall x

Mặt khác,

f (- x) = \sqrt{x^{2} + 3} + x

.
Do đó,

(*) \Leftrightarrow f (m - 1) \geq f (- 2^{m}) \Leftrightarrow m - 1 \leq - 2^{m} \Leftrightarrow m + 2^{m} - 1 \leq 0 (* *)

.
Xét hàm số

g (x) = x + 2^{x} - 1

,

g^{'} (x) = 1 + 2^{x} ln 2 > 0, \forall x

và

g (0) = 0

.
Như vậy,

(* *) \Leftrightarrow g (m) \leq g (0) \Leftrightarrow m \leq 0

.
Theo bài ta

m \in Z \cap (- 2021; 2021)

và

m \leq 0

, suy ra

m \in {- 2020; \dots, - 1; 0}

, tức là có

2021

giá trị

m

thỏa mãn.

Đáp án A.

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m trên $\left( -2021;2021...