Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

{\begin{aligned} 3^{2 x + \sqrt{x + 1}} - 3^{2 + \sqrt{x + 1}} + 2017 x \leq 2017 (1) \\ x^{2} - (m + 2) x + 2 m + 3 \geq 0 (2) \end{aligned} .

A.

m \geq - 3.

B.

m > - 3.

C.

m \geq - 2.

D.

m \leq - 2.

Điều kiện:

x \geq - 1

.
Ta có:

(1) \Leftrightarrow 3^{2 x} {.3}^{\sqrt{x + 1}} - 3^{2} {.3}^{\sqrt{x + 1}} \leq 2017 - 2017 x \Leftrightarrow (9^{x} - 9) 3^{\sqrt{x + 1}} \leq 2017 (1 - x)

.
TH1: $- 1 \leq x < 1$ thì

{\begin{aligned} V T = (9^{x} - 9) 3^{\sqrt{x + 1}} < 0 \\ V P = 2017 (1 - x) > 0 \end{aligned} .

Suy ra

(9^{x} - 9) 3^{\sqrt{x + 1}} \leq 2017 (1 - x)

có nghiệm với

- 1 \leq x < 1

.
TH2: $x = 1$ thì

V T = V P

.
TH3: $x > 1$ thì

{\begin{aligned} V T = (9^{x} - 9) 3^{\sqrt{x + 1}} > 0 \\ V P = 2017 (1 - x) < 0 \end{aligned} .

Suy ra

(9^{x} - 9) 3^{\sqrt{x + 1}} \leq 2017 (1 - x)

vô nghiệm. Vậy (1) có nghiệm với:

- 1 \leq x \leq 1

.
Ta có:

(2) \Leftrightarrow m \geq \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 2}

(với

- 1 \leq x \leq 1

).
Để bất phương trình có nghiệm trên

[- 1; 1]

thì:

m \geq min_{[- 1; 1]} \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x - 2} = - 2

. Vậy

m \geq - 2

.

Đáp án C.