Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017x\le 2017\ \ \ \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m+3\ge 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
A. $m\ge -3.$
B. $m>-3.$
C. $m\ge -2.$
D. $m\le -2.$
$\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2017x\le 2017\ \ \ \left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+2m+3\ge 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
A. $m\ge -3.$
B. $m>-3.$
C. $m\ge -2.$
D. $m\le -2.$
Điều kiện: $x\ge -1$.
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{2x}}{{.3}^{\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2}}{{.3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017-2017x\Leftrightarrow \left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017\left( 1-x \right)$.
TH1: $-1\le x<1$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& VT=\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}<0 \\
& VP=2017\left( 1-x \right)>0 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017\left( 1-x \right)$ có nghiệm với $-1\le x<1$.
TH2: $x=1$ thì $VT=VP$.
TH3: $x>1$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& VT=\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}>0 \\
& VP=2017\left( 1-x \right)<0 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017\left( 1-x \right)$ vô nghiệm. Vậy (1) có nghiệm với: $-1\le x\le 1$.
Ta có: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}$ (với $-1\le x\le 1$ ).
Để bất phương trình có nghiệm trên $\left[ -1;1 \right]$ thì: $m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}=-2$. Vậy $m\ge -2$.
Ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{2x}}{{.3}^{\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2}}{{.3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017-2017x\Leftrightarrow \left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017\left( 1-x \right)$.
TH1: $-1\le x<1$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& VT=\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}<0 \\
& VP=2017\left( 1-x \right)>0 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017\left( 1-x \right)$ có nghiệm với $-1\le x<1$.
TH2: $x=1$ thì $VT=VP$.
TH3: $x>1$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& VT=\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}>0 \\
& VP=2017\left( 1-x \right)<0 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra $\left( {{9}^{x}}-9 \right){{3}^{\sqrt{x+1}}}\le 2017\left( 1-x \right)$ vô nghiệm. Vậy (1) có nghiệm với: $-1\le x\le 1$.
Ta có: $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}$ (với $-1\le x\le 1$ ).
Để bất phương trình có nghiệm trên $\left[ -1;1 \right]$ thì: $m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }} \dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-2}=-2$. Vậy $m\ge -2$.
Đáp án C.