Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị ${m}$ để hàm số ${y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+\left( m+1 \right)x+4m}$ nghịch biến trên khoảng lớn nhất có độ dài bằng ${2}$.
A. ${m=2}$.
B. ${m=1}$.
C. ${m=-1}$.
D. ${m=0}$.
A. ${m=2}$.
B. ${m=1}$.
C. ${m=-1}$.
D. ${m=0}$.
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+6x+m+1$. Để hàm số nghịch biến trên khoảng lớn nhất có độ dài bằng 2thì phương trình $y\!\!'\!\!=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}v\grave{a}\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right|=2.$.
Để phương trình $y\!\!'\!\!=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thì: $\Delta '=6-3m>0\Leftrightarrow m<2\left( * \right)$
Theo Vi- et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{m+1}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Mà $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4$
$\Leftrightarrow 4-4.\dfrac{m+1}{3}=4\Leftrightarrow m=-1$ (thỏa mãn (*))
Để phương trình $y\!\!'\!\!=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ thì: $\Delta '=6-3m>0\Leftrightarrow m<2\left( * \right)$
Theo Vi- et ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-2 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{m+1}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Mà $\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=4$
$\Leftrightarrow 4-4.\dfrac{m+1}{3}=4\Leftrightarrow m=-1$ (thỏa mãn (*))
Đáp án C.