Tìm tất cả các giá trị dương của $n$ thỏa mãn ${{\left( {{3}^{n}}+{{7}^{n}} \right)}^{2021}}>{{\left( {{3}^{2021}}+{{7}^{2021}} \right)}^{n}}.$

Phương pháp:
- Lấy loganepe hai vế của bất phương trình.
- Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.
Cách giải:
Lấy loganepe hai vế của bất phương trình ta có:
${{\left( {{3}^{n}}+{{7}^{n}} \right)}^{2021}}>{{\left( {{3}^{2021}}+{{7}^{2021}} \right)}^{n}}$
$\Leftrightarrow 2021.\ln \left( {{3}^{n}}+{{7}^{n}} \right)>n.\ln \left( {{3}^{2021}}+{{7}^{2021}} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{\ln \left( {{3}^{n}}+{{7}^{n}} \right)}{n}.\dfrac{\ln \left( {{3}^{2021}}+{{7}^{2021}} \right)}{2021}\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)}{t}$ với $t\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ ta có:
$f'\left( t \right)=\dfrac{\dfrac{1}{{{3}^{t}}+{{7}^{t}}}\left( {{3}^{t}}\ln 3+{{7}^{t}}\ln 7 \right)t-\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)}{{{t}^{2}}}$
$f'\left( t \right)=\dfrac{t{{.3}^{t}}.\ln 3+t{{.7}^{t}}.\ln 7-\left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)}{{{t}^{2}}\left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)}$
$f'\left( t \right)=\dfrac{{{3}^{t}}.\ln {{3}^{t}}+{{7}^{t}}.\ln {{7}^{t}}-{{3}^{t}}\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)-{{7}^{t}}\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)}{{{t}^{2}}\left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)}$
$f'\left( t \right)=\dfrac{{{3}^{t}}.\left[ \ln {{3}^{t}}-\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right) \right]+{{7}^{t}}\left[ \ln {{7}^{t}}-\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right) \right]}{{{t}^{2}}\left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right)}$
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{t}}<{{3}^{t}}+{{7}^{t}}\Rightarrow \ln {{3}^{t}}<\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right) \\
& {{7}^{t}}<{{3}^{t}}+{{7}^{t}}\Rightarrow \ln {{7}^{t}}<\ln \left( {{3}^{t}}+{{7}^{t}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f'\left( t \right)<0\forall t\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$
Do đó hàm số $y=f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Từ (*) suy ra $0<n<2021.$