Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng bốn nghiệm phân biệt ${{\left( 7-3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=2{{x}^{2-1}}$
A. $0<m<\dfrac{1}{16}.$
B. $0\le m<\dfrac{1}{16}.$
C. $-\dfrac{1}{2}<m<0.$
D. $-\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{16}.$
A. $0<m<\dfrac{1}{16}.$
B. $0\le m<\dfrac{1}{16}.$
C. $-\dfrac{1}{2}<m<0.$
D. $-\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{16}.$
Ta có: $\left( 7+3\sqrt{5} \right)\left( 7-3\sqrt{5} \right)=49-45=4\Rightarrow 7-3\sqrt{5}=\dfrac{4}{7+3\sqrt{5}}$
Phương trình tương đương với: ${{\left( \dfrac{4}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{{{x}^{2}}}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{2.2}^{{{x}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}}}.{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{2}}+2m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=0 \\
& \Leftrightarrow 2.{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}-{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+2m=0\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Đặt ${{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}=t\Rightarrow {{x}^{2}}={{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t.$
Ta có: $0<\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}<1\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t>0\Leftrightarrow 0<t<1\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t+2m=0 \left( 1 \right)$
Để có phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $t\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& af\left( 0 \right)>0 \\
& af\left( 1 \right)>0 \\
& 0<-\dfrac{b}{2a}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-16m>0 \\
& 4m>0 \\
& 2\left( 2m+1 \right)>0 \\
& 0<\dfrac{1}{2}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{16} \\
& m>0\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{1}{16} \\
& m>-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy: $\left( 7+3\sqrt{5} \right)\left( 7-3\sqrt{5} \right)=4\Rightarrow 7-3\sqrt{5}=\dfrac{4}{7+3\sqrt{5}}=4.{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{-1}}$
Phương trình tương đương với: ${{\left( \dfrac{4}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=\dfrac{1}{2}{{.2}^{{{x}^{2}}}}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{2.2}^{{{x}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}}}.{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{2}}+2m{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{{{x}^{2}}}}=0 \\
& \Leftrightarrow 2.{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}-{{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{{{x}^{2}}}}+2m=0\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Đặt ${{\left( \dfrac{2}{7+3\sqrt{5}} \right)}^{2{{x}^{2}}}}=t\Rightarrow {{x}^{2}}={{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t.$
Ta có: $0<\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}<1\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{2}{7+3\sqrt{5}}}}t>0\Leftrightarrow 0<t<1\Rightarrow (*)\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-t+2m=0 \left( 1 \right)$
Để có phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $t\in \left( 0;1 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& af\left( 0 \right)>0 \\
& af\left( 1 \right)>0 \\
& 0<-\dfrac{b}{2a}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-16m>0 \\
& 4m>0 \\
& 2\left( 2m+1 \right)>0 \\
& 0<\dfrac{1}{2}<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\dfrac{1}{16} \\
& m>0\Leftrightarrow 0<m<\dfrac{1}{16} \\
& m>-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy: $\left( 7+3\sqrt{5} \right)\left( 7-3\sqrt{5} \right)=4\Rightarrow 7-3\sqrt{5}=\dfrac{4}{7+3\sqrt{5}}=4.{{\left( 7+3\sqrt{5} \right)}^{-1}}$
Đáp án A.