Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng bốn nghiệm phân biệt

{(7 - 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} + m {(7 + 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} = 2 x^{2 - 1}

A.

0 < m < \frac{1}{16} .

B.

0 \leq m < \frac{1}{16} .

C.

- \frac{1}{2} < m < 0.

D.

- \frac{1}{2} < m \leq \frac{1}{16} .

Ta có:

(7 + 3 \sqrt{5}) (7 - 3 \sqrt{5}) = 49 - 45 = 4 \Rightarrow 7 - 3 \sqrt{5} = \frac{4}{7 + 3 \sqrt{5}}

Phương trình tương đương với:

{(\frac{4}{7 + 3 \sqrt{5}})}^{x^{2}} + m {(7 + 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} = \frac{1}{2} {.2}^{x^{2}}

\begin{aligned} \Leftrightarrow {2.2}^{x^{2}} - 2^{x^{2}} . {(7 + 3 \sqrt{5})}^{2} + 2 m {(7 + 3 \sqrt{5})}^{x^{2}} = 0 \\ \Leftrightarrow 2. {(\frac{2}{7 + 3 \sqrt{5}})}^{2 x^{2}} - {(\frac{2}{7 + 3 \sqrt{5}})}^{x^{2}} + 2 m = 0 (*) \end{aligned}

Đặt

{(\frac{2}{7 + 3 \sqrt{5}})}^{2 x^{2}} = t \Rightarrow x^{2} = \log_{\frac{2}{7 + 3 \sqrt{5}}} t .

Ta có:

0 < \frac{2}{7 + 3 \sqrt{5}} < 1 \Rightarrow \log_{\frac{2}{7 + 3 \sqrt{5}}} t > 0 \Leftrightarrow 0 < t < 1 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow 2 t^{2} - t + 2 m = 0 (1)

Để có phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

t \in (0; 1)

\Leftrightarrow {\begin{aligned} Δ > 0 \\ a f (0) > 0 \\ a f (1) > 0 \\ 0 < - \frac{b}{2 a} < 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 - 16 m > 0 \\ 4 m > 0 \\ 2 (2 m + 1) > 0 \\ 0 < \frac{1}{2} < 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m < \frac{1}{16} \\ m > 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{16} \\ m > - \frac{1}{2} \end{aligned}

Nhận thấy:

(7 + 3 \sqrt{5}) (7 - 3 \sqrt{5}) = 4 \Rightarrow 7 - 3 \sqrt{5} = \frac{4}{7 + 3 \sqrt{5}} = 4. {(7 + 3 \sqrt{5})}^{- 1}

Đáp án A.