. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $4{{\left(...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

4 {(\log_{2} \sqrt{x})}^{2} - \log_{\frac{1}{2}} x + m = 0

có nghiệm thuộc khoảng

(0; 1)

A.

m \in (0; \frac{1}{4}]

B.

m \in (- \infty; 0]

C.

m \in [\frac{1}{4}; + \infty)

D.

m \in (- \infty; \frac{1}{4}]

Xét trên

(0; 1)

. Ta có:

4 {(\log_{2} \sqrt{x})}^{2} - \log_{\frac{1}{2}} x + m = 0 \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x + \log_{2} x + m = 0

.
Đặt

t = \log_{2} x \Rightarrow t \in (- \infty; 0)

. Ta được phương trình:

t^{2} + t + m = 0 \Leftrightarrow m = - t^{2} - t

.
Xét hàm số

f (t) = - t^{2} - t, t \in (- \infty; 0)

.
Ta có:

f^{'} (t) = - 2 t - t; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}

. Bảng biến thiên:

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng

(0; 1)

thì

m \in (- \infty; \frac{1}{4}]

.

Đáp án D.