Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y={{\log }_{2020}}\left( mx-m+2 \right)$ xác định trên $\left[ 1;+\infty \right).$

Hàm số $y={{\log }_{2020}}\left( mx-m+2 \right)$ xác định trên $\left[ 1;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow mx-m+2>0,\forall x\ge 1\Leftrightarrow m(x-1)>-2,\forall x\ge 1$
TH1: $x=1$ $\Rightarrow $ Ta có $0>-2$, luôn đúng với $\forall x\ge 1$.
TH2: $x>1\Rightarrow m\left( x-1 \right)>-2,\forall x>1\Leftrightarrow m>\dfrac{-2}{x-1}=f\left( x \right),\forall x>1\Leftrightarrow m>\underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)$.
Dễ thấy hàm số $f\left( x \right)=-\dfrac{2}{x-1}$ đồng biến trên $\left( 1;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)<f\left( x \right)<\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)\Leftrightarrow -\infty <f\left( x \right)<0$
Vậy $m>\underset{(1;+\infty )}{\mathop{\max }} f(x)\Leftrightarrow m\ge 0$.