Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm...

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+m-4$ trên đoạn $\left[ -2;1 \right].$ Ta có $f'\left( x \right)=2x+2=0\Leftrightarrow x=-1.$
Ta có $f\left( -2 \right)=m-4,f\left( 1 \right)=m-1$ và $f\left( -1 \right)=m-5.$
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là $\max \left\{ \left| m-4 \right|,\left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}.$
Ta thấy $m-5<m-4<m-1$ nên $\left| m-4 \right|<\max \left\{ \left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}.$ Do đó
$\max \left\{ \left| m-4 \right|,\left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}=\max \left\{ \left| m-1 \right|,\left| m-5 \right| \right\}$.
Đặt $A=m-1=\left( m-3 \right)+2$ và $m=m-5=\left( m-3 \right)-2.$
* $m-3>0\Rightarrow \max \left\{ \left| A \right|,\left| B \right| \right\}\ge \left| A \right|>2.$
* $m-3<0\Rightarrow \max \left\{ \left| A \right|,\left| B \right| \right\}\left| B \right|>2.$
* $m-3=0\Rightarrow \max \left\{ \left| A \right|,\left| B \right| \right\}=\left| A \right|=\left| B \right|=2.$
Vậy để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì $m=3.$