Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ cắt đường tròn $(C)$ tâm $I(1;1)$, bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho diện tích tam giác $IAB$ đạt giá trị lớn nhất?
A. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{3}$.
B. $m=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}$.
C. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}$.
D. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{5}}{2}$.
A. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{3}$.
B. $m=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}$.
C. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}$.
D. $m=\dfrac{2\pm \sqrt{5}}{2}$.
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-3m$
Hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow $ $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m>0$.
Có: $y={{x}^{3}}-3mx+2=\dfrac{1}{3}x.y'+\left( -2mx+2 \right)$. Vì $y'\left( {{x}_{CT}} \right)=0\Rightarrow {{y}_{CT}}=-2m{{x}_{CT}}+2$ Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ có phương trình là $y=-2mx+2\Leftrightarrow 2mx+y-2=0\left( \Delta \right)$.
$\left( \Delta \right)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ $\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)<R$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}<1 \\
& \Leftrightarrow m>0 \\
\end{aligned}$
Ta có: ${{S}_{\Delta IAB}}=\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}\sin \widehat{AIB}\le \dfrac{1}{2}$
Vì ${{0}^{o}}<\widehat{AIB}<{{180}^{o}}\Leftrightarrow 0<\sin \widehat{AIB}\le 1$.
Do đó, ${{S}_{\Delta IAB}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin \widehat{AIB}=1\Leftrightarrow \widehat{AIB}={{90}^{o}}$.
Suy ra, tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$, ta có: $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+1=0 \\
& \Leftrightarrow m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}(t/m). \\
\end{aligned}$
Vậy $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}$ là giá trị cần tìm.
Hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ có cực đại, cực tiểu $\Leftrightarrow $ $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m>0$.
Có: $y={{x}^{3}}-3mx+2=\dfrac{1}{3}x.y'+\left( -2mx+2 \right)$. Vì $y'\left( {{x}_{CT}} \right)=0\Rightarrow {{y}_{CT}}=-2m{{x}_{CT}}+2$ Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3mx+2$ có phương trình là $y=-2mx+2\Leftrightarrow 2mx+y-2=0\left( \Delta \right)$.
$\left( \Delta \right)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ $\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)<R$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}<1 \\
& \Leftrightarrow m>0 \\
\end{aligned}$
Ta có: ${{S}_{\Delta IAB}}=\dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat{AIB}=\dfrac{1}{2}\sin \widehat{AIB}\le \dfrac{1}{2}$
Vì ${{0}^{o}}<\widehat{AIB}<{{180}^{o}}\Leftrightarrow 0<\sin \widehat{AIB}\le 1$.
Do đó, ${{S}_{\Delta IAB}}$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin \widehat{AIB}=1\Leftrightarrow \widehat{AIB}={{90}^{o}}$.
Suy ra, tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$, ta có: $d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{\left| 2m-1 \right|}{\sqrt{4{{m}^{2}}+1}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+1=0 \\
& \Leftrightarrow m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}(t/m). \\
\end{aligned}$
Vậy $m=\dfrac{2\pm \sqrt{3}}{2}$ là giá trị cần tìm.
Đáp án C.