Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}4x=m$ có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4} \right]$.
A. $m\le \dfrac{47}{64}$ hoặc $m\ge \dfrac{3}{2}$
B. $\dfrac{47}{64}<m<\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{47}{64}<m\le \dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{47}{64}\le m\le \dfrac{3}{2}$
A. $m\le \dfrac{47}{64}$ hoặc $m\ge \dfrac{3}{2}$
B. $\dfrac{47}{64}<m<\dfrac{3}{2}$
C. $\dfrac{47}{64}<m\le \dfrac{3}{2}$
D. $\dfrac{47}{64}\le m\le \dfrac{3}{2}$
HD: Ta có: ${{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\cos }^{2}}4x=m\Leftrightarrow {{({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}4x=m$
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}4x=m\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-\cos 4x}{2}+{{\cos }^{2}}4x=m$
$\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}4x+\dfrac{1}{4}\cos 4x+\dfrac{3}{4}=m$ (*)
Đặt $t=\cos 4x$ với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4} \right]\Rightarrow 4\text{x}\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$
Với $\left[ \begin{aligned}
& t=1\Rightarrow 4\text{x}=0 \\
& t=-1\Rightarrow 4\text{x}=\pi \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ một giá trị của t có hai giá trị của x.
Với $t\in (-1;1)\Rightarrow $ một giá trị của t có hai giá trị của x.
Do đó để (*) có 4 gnhiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4} \right]\Leftrightarrow $ PT $f(t)={{t}^{2}}+\dfrac{1}{4}t+\dfrac{3}{4}=m$ có 2 nghiệm thuộc khoảng $(-1;1)$.
Ta có: ${f}'(t)=2t+\dfrac{1}{4}=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{8}$. Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& f(-1)=\dfrac{3}{2} \\
& f\left( -\dfrac{1}{8} \right)=\dfrac{47}{64} \\
& f(1)=1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào BBT suy ra $\dfrac{47}{64}<m<\dfrac{3}{2}$ là giá trị cần tìm.
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x+{{\cos }^{2}}4x=m\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-\cos 4x}{2}+{{\cos }^{2}}4x=m$
$\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}4x+\dfrac{1}{4}\cos 4x+\dfrac{3}{4}=m$ (*)
Đặt $t=\cos 4x$ với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4} \right]\Rightarrow 4\text{x}\in \left[ -\pi ;\pi \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$
Với $\left[ \begin{aligned}
& t=1\Rightarrow 4\text{x}=0 \\
& t=-1\Rightarrow 4\text{x}=\pi \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ một giá trị của t có hai giá trị của x.
Với $t\in (-1;1)\Rightarrow $ một giá trị của t có hai giá trị của x.
Do đó để (*) có 4 gnhiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4} \right]\Leftrightarrow $ PT $f(t)={{t}^{2}}+\dfrac{1}{4}t+\dfrac{3}{4}=m$ có 2 nghiệm thuộc khoảng $(-1;1)$.
Ta có: ${f}'(t)=2t+\dfrac{1}{4}=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{1}{8}$. Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& f(-1)=\dfrac{3}{2} \\
& f\left( -\dfrac{1}{8} \right)=\dfrac{47}{64} \\
& f(1)=1 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào BBT suy ra $\dfrac{47}{64}<m<\dfrac{3}{2}$ là giá trị cần tìm.
Đáp án B.