Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ${{\sin...

HD: Ta có: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\cos }^{2}4x=m\iff {({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{2}4x=m$
$\iff 1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}4x=m\iff 1-{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1-\cos 4x}{2}}+{\cos }^{2}4x=m$
$\iff {\cos }^{2}4x+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cos 4x+{\displaystyle \frac{3}{4}}=m$ (*)
Đặt $t=\cos 4x$ với $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]\Rightarrow 4\text{x}\in [-\pi ;\pi ]\Rightarrow t\in [-1;1]$
Với $[\begin{array}{rl}& t=1\Rightarrow 4\text{x}=0\\ & t=-1\Rightarrow 4\text{x}=\pi \end{array}\Rightarrow$ một giá trị của t có hai giá trị của x.
Với $t\in (-1;1)\Rightarrow$ một giá trị của t có hai giá trị của x.
Do đó để (*) có 4 gnhiệm phân biệt thuộc đoạn $[-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]\iff$ PT $f(t)=t^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}t+{\displaystyle \frac{3}{4}}=m$ có 2 nghiệm thuộc khoảng $(-1;1)$.
Ta có: $f^{\prime }(t)=2t+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0\iff t=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$. Mặt khác $\{\begin{array}{rl}& f(-1)={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & f(-{\displaystyle \frac{1}{8}})={\displaystyle \frac{47}{64}}\\ & f(1)=1\end{array}$
Dựa vào BBT suy ra ${\displaystyle \frac{47}{64}}<m<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ là giá trị cần tìm.