Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình ${{3}^{{{x}^{2}}-3\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}+3}}\left( 3\left| x-m \right|+3 \right)$...

Phương pháp:
Xét hàm đặc trưng
Cách giải:
Ta có:
${{3}^{{{x}^{2}}-3\left| x-m \right|}}={{\log }_{{{x}^{2}}+3}}\left( 3\left| x-m \right|+3 \right)$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}+3-3\left| x-m \right|-3}}={{\log }_{{{x}^{2}}+3}}\left( 3\left| x-m \right|+3 \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{3}^{{{x}^{2}}+3}}}{{{3}^{3\left| x-m \right|+3}}}=\dfrac{\ln \left( 3\left| x-m \right|+3 \right)}{\ln \left( {{x}^{2}}+3 \right)}$
$\Leftrightarrow {{3}^{{{x}^{2}}+3}}.\ln \left( {{x}^{2}}+3 \right)={{3}^{3\left| x-m \right|+3}}.\ln \left( 3\left| x-m \right|+3 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3}^{t}}\ln t\left( t\ge 3 \right)$ ta có $f'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln t.\ln 3+{{3}^{t}}.\dfrac{1}{t}>0\forall t\ge 3$
Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ 3;+\infty \right)$.
Lại có $f\left( {{x}^{2}}+3 \right)=f\left( 3\left| x-m \right|+3 \right)$ nên ${{x}^{2}}+3=3\left| x-m \right|+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}=3\left| x-m \right|.$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}=3\left( x-m \right) \\
& -{{x}^{2}}=3\left( x-m \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x+3m=0 \\
& {{x}^{2}}+3x-3m=0 \\
\end{aligned} \right.$
Để phương trình có nghiệm thì $\left\{ \begin{aligned}
& 9-12m\ge 0 \\
& 9+12m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{3}{4} \\
& m\ge -\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \mathbb{R}.$