Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( 2m-1 \right)x+1$ nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2?
A. $m=0,\ m=2.$
B. $m=1.$
C. $m=0.$
D. $m=2.$
A. $m=0,\ m=2.$
B. $m=1.$
C. $m=0.$
D. $m=2.$
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)$
Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$.
Ta có: $\Delta '=9{{m}^{2}}-9\left( 2m-1 \right)=9{{\left( m-1 \right)}^{2}}$.
Để $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì $\Delta '>0\Leftrightarrow 9{{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$.
Theo định lý Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1 \\
\end{aligned} \right..$
Theo bài ra ta có: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right..$
Tìm giá trị của tham số m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên đoạn có độ dài bằng l.
Phương pháp:
Bước 1: Tính $y'=f'\left( x,m \right)$.
Bước 2: Tìm điều kiện $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Bước 3: Biến đổi $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=l\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{l}^{2}}=0$.
Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét giải phương trình theo m, đối chiếu với điều kiện $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt để chọn m.
Công thức tính nhanh: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{\Delta }}{\left| a \right|}$ .
Để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 thì $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2$.
Ta có: $\Delta '=9{{m}^{2}}-9\left( 2m-1 \right)=9{{\left( m-1 \right)}^{2}}$.
Để $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thì $\Delta '>0\Leftrightarrow 9{{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$.
Theo định lý Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1 \\
\end{aligned} \right..$
Theo bài ra ta có: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right..$
Tìm giá trị của tham số m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên đoạn có độ dài bằng l.
Phương pháp:
Bước 1: Tính $y'=f'\left( x,m \right)$.
Bước 2: Tìm điều kiện $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Bước 3: Biến đổi $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=l\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{l}^{2}}=0$.
Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét giải phương trình theo m, đối chiếu với điều kiện $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt để chọn m.
Công thức tính nhanh: $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\dfrac{\sqrt{\Delta }}{\left| a \right|}$ .
Đáp án A.