Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=x+m\left( \sin x+\cos x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
A. $\left| m \right|\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $m\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $m\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\left| m \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
A. $\left| m \right|\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
B. $m\ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $m\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\left| m \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Ta có $y=x+m\left( \sin x+\cos x \right)=x+\sqrt{2}m\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right);\text{ {y}'}=1+\sqrt{2}m\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)$.
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow 1+\sqrt{2}m\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left| \sqrt{2}m\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right) \right|\le 1\Leftrightarrow \sqrt{2}\left| m \right|\le 1\Leftrightarrow \left| m \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow 1+\sqrt{2}m\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left| \sqrt{2}m\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right) \right|\le 1\Leftrightarrow \sqrt{2}\left| m \right|\le 1\Leftrightarrow \left| m \right|\le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Đáp án D.