Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y=x+m\left( \sin x+\cos x...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

y = x + m (\sin x + \cos x)

đồng biến trên

R

.
A.

| m | \geq \frac{\sqrt{2}}{2}

B.

m \geq \frac{\sqrt{2}}{2}

C.

m \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

D.

| m | \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

Ta có

y = x + m (\sin x + \cos x) = x + \sqrt{2} m \sin (x + \frac{π}{4}); {y}' = 1 + \sqrt{2} m \cos (x + \frac{π}{4})

.
Để hàm số đồng biến trên

R \Leftrightarrow 1 + \sqrt{2} m \cos (x + \frac{π}{4}) \geq 0, \forall x \in R

\Leftrightarrow | \sqrt{2} m \cos (x + \frac{π}{4}) | \leq 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} | m | \leq 1 \Leftrightarrow | m | \leq \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Đáp án D.