Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại...

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3m$ nên $y^{\prime }=0\iff x^2=m.$
Đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0.$
Ta có
$y=x^3-3mx+2={\displaystyle \frac{1}{3}}x(3x^2-3m)-2mx+2={\displaystyle \frac{1}{3}}x.y^{\prime }-2mx+2.$
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có phương trình $\mathrm{\Delta }:y=-2mx+2$
Ta có $S_{\mathrm{\Delta }IAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}IA.IB.\sin \widehat{AIB}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \widehat{AIB}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$
Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ khi $\sin \widehat{AIB}=1\iff AI\mathrm{\perp }BI.$
Gọi H là trung điểm AB ta có $IH={\displaystyle \frac{1}{2}}AB={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{d}_{(I;\mathrm{\Delta })}$
Mà $d_{(I;\mathrm{\Delta })}={\displaystyle \frac{|2m+1-2|}{\sqrt{4m^2+1}}}$
$\begin{array}{rl}& d_{(I;\mathrm{\Delta })}={\displaystyle \frac{|2m+1-2|}{\sqrt{4m^2+1}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\iff |4m-2|=\sqrt{2(4m^2+1)}\\ & \iff 8m^2-16m+2=0\iff m={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{3}}{2}}.\end{array}$