Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số...

TH1: Phương trình ${{x}^{2}}-mx-3m=0$ có nghiệm $x=-1$ $\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}$. Khi đó hàm số $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{\left( x+1 \right)\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}}$ hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là $x=\dfrac{3}{2}$ do đó $m=\dfrac{1}{2}$ không thoả mãn.
TH2: Phương trình ${{x}^{2}}-mx-3m=0$ không có nghiệm $x=-1$ $\Rightarrow m\ne \dfrac{1}{2}$.
Khi đó hàm số $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-mx-3m}}$ có hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình ${{x}^{2}}-mx-3m=0$ có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}, {{x}_{2}}$ lớn hơn $-1$ $\Leftrightarrow $ $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>-2 \\
& \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( -m \right)}^{2}}-4.\left( -3m \right)>0 \\
& m>-2 \\
& m+\left( -3m \right)+1>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m<-12 \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& m>-2 \\
& m<\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow 0<m<\dfrac{1}{2}$
Kết hợp TH1 và TH2 ta có giá trị $m$ cần tìm là $0<m<\dfrac{1}{2}$.