Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
A. $m=1$.
B. $m\in \left\{ -1;1 \right\}$.
C. $m\in \left\{ -1;0;1 \right\}$.
D. $m\in \left\{ 0;1 \right\}$.
A. $m=1$.
B. $m\in \left\{ -1;1 \right\}$.
C. $m\in \left\{ -1;0;1 \right\}$.
D. $m\in \left\{ 0;1 \right\}$.
Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=4x\left( {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right)$ ; ${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}={{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.
Với $m\ne 0$, gọi $A\left( 0;1 \right)$, $B\left( -m;-{{m}^{4}}+1 \right)$, $C\left( m;-{{m}^{4}}+1 \right)$ là tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Dễ thấy B,C đối xứng với nhau qua trục Oy, nên ta có $AB=AC$
$\overrightarrow{AB}=\left( -m;-{{m}^{4}} \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( m;-{{m}^{4}} \right)$.
Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác vuông cân $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$
$\Leftrightarrow {{m}^{8}}-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\pm 1$.
& x=0 \\
& {{x}^{2}}={{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m\ne 0$.
Với $m\ne 0$, gọi $A\left( 0;1 \right)$, $B\left( -m;-{{m}^{4}}+1 \right)$, $C\left( m;-{{m}^{4}}+1 \right)$ là tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Dễ thấy B,C đối xứng với nhau qua trục Oy, nên ta có $AB=AC$
$\overrightarrow{AB}=\left( -m;-{{m}^{4}} \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( m;-{{m}^{4}} \right)$.
Ba điểm cực trị A, B, C tạo thành tam giác vuông cân $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$
$\Leftrightarrow {{m}^{8}}-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\pm 1$.
Đáp án B.