Google
Câu hỏi: Tìm tập tất cả các giá trị của ${m}$ để phương trình ${{7^{m{x^2} + 2x}} = {7^{2mx - m}}}$ có hai nghiệm ${{x_1};{x_2}}$ thỏa mãn ${\dfrac{{x_1^2}}{{x_2^2}} + \dfrac{{x_2^2}}{{x_1^2}} \le 2}$.
A. ${m \ge \dfrac{1}{2}}$.
B. ${m = \dfrac{1}{2}}$.
C. ${m \le \dfrac{1}{2}}$.
D. ${m \in \left\{ {\dfrac{1}{2}; 1} \right\}}$.
A. ${m \ge \dfrac{1}{2}}$.
B. ${m = \dfrac{1}{2}}$.
C. ${m \le \dfrac{1}{2}}$.
D. ${m \in \left\{ {\dfrac{1}{2}; 1} \right\}}$.
${{7}^{m{{x}^{2}}+2x}}={{7}^{2mx-m}} \left( 1 \right)$
${{7}^{m{{x}^{2}}+2x}}={{7}^{2mx-m}}\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m=0\left( 2 \right)$
Đề phương trình (1) có hai nghiệm thì phương trình (2) có hai nghiệm, điều này tương đương
$\left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$
Theo định lí Viet ta có :$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\dfrac{m-1}{m} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\dfrac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}+\dfrac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right)}^{2}}\le 0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow 2\dfrac{m-1}{m}=0\Leftrightarrow m=1$ (loại do điều kiện).
Trường hợp ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$, tức là phương trình (2) có nghiệm kép $\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$ Kiểm tra lại với $m=\dfrac{1}{2}$ thấy thỏa mãn điều kiện ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\dfrac{1}{2}$
${{7}^{m{{x}^{2}}+2x}}={{7}^{2mx-m}}\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m=0\left( 2 \right)$
Đề phương trình (1) có hai nghiệm thì phương trình (2) có hai nghiệm, điều này tương đương
$\left\{ \begin{aligned}
& m\ne 0 \\
& {{\left( m-1 \right)}^{2}}-{{m}^{2}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;\dfrac{1}{2} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}$
Theo định lí Viet ta có :$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\dfrac{m-1}{m} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=1 \\
\end{aligned} \right.$
$\dfrac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}+\dfrac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}\le 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right)}^{2}}\le 0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{x}_{2}} \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Trường hợp ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow 2\dfrac{m-1}{m}=0\Leftrightarrow m=1$ (loại do điều kiện).
Trường hợp ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$, tức là phương trình (2) có nghiệm kép $\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$ Kiểm tra lại với $m=\dfrac{1}{2}$ thấy thỏa mãn điều kiện ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0$
Vậy giá trị cần tìm là $m=\dfrac{1}{2}$
Đáp án B.