Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy...

Ta có: $\begin{aligned}
& \ \ \ \ {{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( 4x+4y-6+{{m}^{2}} \right)\ge 1={{\log }_{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2 \right) \\
& \Leftrightarrow 4x+4y-6+{{m}^{2}}\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2\ \left( do\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2>1 \right) \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y-{{m}^{2}}+8\le 0\ \ \ \left( 1 \right). \\
\end{aligned}$
Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c=4+4+{{m}^{2}}-8={{m}^{2}}\ \ \ \left( 2 \right).$
TH1: $m=0\Rightarrow \left( 1 \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y+8=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right..$
Cặp số $\left( x;y \right)=\left( 2;2 \right)$ không thỏa mãn điều kiện (2).
TH2: $m\ne 0\Rightarrow {{m}^{2}}>0\Rightarrow $ Tập hợp các cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn (1) là hình tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$ (kể cả biên) tâm ${{I}_{1}}\left( 2;2 \right)$, bán kính ${{R}_{1}}=m$.
Tập hợp các cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn (2) là đường tròn $\left( {{C}_{2}} \right)$ tâm ${{I}_{2}}\left( -1;2 \right)$ bán kính ${{R}_{2}}=\sqrt{1+4-1}=2$.
Để tồn tại duy nhất cặp số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn 2 điều kiện (1) và (2).
Suy ra xảy ra 2 trường hợp sau:
+ $\left( {{C}_{1}} \right);\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc ngoài $\Leftrightarrow {{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( -1-2 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2 \right)}^{2}}}=m+2\Leftrightarrow 3=m+2\Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn).
+ $\left( {{C}_{1}} \right);\left( {{C}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong và ${{R}_{1}}<{{R}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{I}_{1}}{{I}_{2}}=\left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} \right| \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3=\left| m-2 \right| \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=5 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m<2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-1$ (thỏa mãn).
Vậy $S=\left\{ \pm 1 \right\}$.