Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số

(x; y)

thỏa mãn

\log_{x^{2} + y^{2} + 2} (4 x + 4 y - 6 + m^{2}) \geq 1

và

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0

.
A.

S = {- 5; 5} .

B.

S = {- 7; - 5; - 1; 1; 5; 7} .

C.

S = {- 5; - 1; 1; 5} .

D.

S = {- 1; 1} .

Ta có:

\begin{aligned} \log_{x^{2} + y^{2} + 2} (4 x + 4 y - 6 + m^{2}) \geq 1 = \log_{x^{2} + y^{2} + 2} (x^{2} + y^{2} + 2) \\ \Leftrightarrow 4 x + 4 y - 6 + m^{2} \geq x^{2} + y^{2} + 2 (d o x^{2} + y^{2} + 2 > 1) \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - m^{2} + 8 \leq 0 (1) . \end{aligned}

Ta có:

a^{2} + b^{2} - c = 4 + 4 + m^{2} - 8 = m^{2} (2) .

TH1:

m = 0 \Rightarrow (1) : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 8 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = 2 \\ y = 2 \end{aligned} .

Cặp số

(x; y) = (2; 2)

không thỏa mãn điều kiện (2).
TH2:

m \neq 0 \Rightarrow m^{2} > 0 \Rightarrow

Tập hợp các cặp số

(x; y)

thỏa mãn (1) là hình tròn

(C_{1})

(kể cả biên) tâm

I_{1} (2; 2)

, bán kính

R_{1} = m

.
Tập hợp các cặp số

(x; y)

thỏa mãn (2) là đường tròn

(C_{2})

tâm

I_{2} (- 1; 2)

bán kính

R_{2} = \sqrt{1 + 4 - 1} = 2

.
Để tồn tại duy nhất cặp số

(x; y)

thỏa mãn 2 điều kiện (1) và (2).
Suy ra xảy ra 2 trường hợp sau:
+

(C_{1}); (C_{2})

tiếp xúc ngoài

\Leftrightarrow I_{1} I_{2} = R_{1} + R_{2} \Leftrightarrow \sqrt{{(- 1 - 2)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}} = m + 2 \Leftrightarrow 3 = m + 2 \Leftrightarrow m = 1

(thỏa mãn).
+

(C_{1}); (C_{2})

tiếp xúc trong và

R_{1} < R_{2} \Leftrightarrow {\begin{aligned} I_{1} I_{2} = | R_{1} - R_{2} | \\ m < 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 3 = | m - 2 | \\ m < 2 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} m = 5 \\ m = - 1 \end{aligned} \\ m < 2 \end{aligned} \Leftrightarrow m = - 1

(thỏa mãn).
Vậy

S = {\pm 1}

.

Đáp án D.