Tìm tập nghiệm của bất phương trình ${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x-2}}\le 2\left( \sqrt{2}+1 \right).$

Phương pháp:
- Sử dụng $\left( \sqrt{2}-1 \right)={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{-1}}.$
- Chia cả 2 vế cho $\sqrt{2}+1.$
- Đặt ẩn phụ $t={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x-1}}>0,$ đưa về bất phương trình bậc hai ẩn $t.$
- Giải bất phương trình tìm $t$ sau đó tìm $x.$
Cách giải:
Ta có:
${{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{x-2}}\le 2\left( \sqrt{2}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x}}-{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2-x}}\le 2\left( \sqrt{2}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x-1}}-{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{1-x}}\le 2$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x-1}}-\dfrac{1}{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x-1}}}\le 2$
Đặt $t={{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x-1}}>0,$ bất phương trình trở thành: $t-\dfrac{1}{t}\le 2\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-1\le 0\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}\le t\le 1+\sqrt{2}.$
Kết hợp điều kiện $\Rightarrow 0<t\le 1+\sqrt{2}.$
$\Rightarrow {{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{x-1}}\le \sqrt{2}+1\Leftrightarrow x-1\le 1\Leftrightarrow x\le 2.$