Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tất cả các giá trị tham số $m$ để phương trình ${{4}^{{{x}^{2}}-2x+1}}-m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x+2}}+3m-2=0$ có 4 nghiệm phân biệt.
A. $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
B. $\left( 2;+\infty \right)$.
C. $\left[ 2;+\infty \right)$.
D. $\left( 1;+\infty \right)$.
A. $\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$.
B. $\left( 2;+\infty \right)$.
C. $\left[ 2;+\infty \right)$.
D. $\left( 1;+\infty \right)$.
Xét phương trình: ${{4}^{{{x}^{2}}-2x+1}}-m{{.2}^{{{x}^{2}}-2x+2}}+3m-2=0\text{ }{{}^{\left( 1 \right)}}$
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-2x+1}}={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}$. Do đó, ta có ${{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}t$. Điều kiện $\left( t\ge 1 \right)$
Ta có phương trình: (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+3m-2=0\text{ }{{}^{\left( 2 \right)}}$
Ta nhận thấy mỗi giá trị $t>1$ cho hai giá trị $x$ tương ứng. Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: $1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( 2t-3 \right)m={{t}^{2}}-2$.
Nhận xét: $t=\dfrac{3}{2}$, không là nghiệm phương trình.
Xét $t\ne \dfrac{3}{2},$ $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$. Xét hàm $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$ trên $\left( 1;+\infty \right)\backslash \left\{ \dfrac{3}{2} \right\}$
$g'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-6t+4}{{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}$ ;$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần $m>2$.
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}-2x+1}}={{2}^{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}$. Do đó, ta có ${{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}t$. Điều kiện $\left( t\ge 1 \right)$
Ta có phương trình: (1) trở thành: ${{t}^{2}}-2mt+3m-2=0\text{ }{{}^{\left( 2 \right)}}$
Ta nhận thấy mỗi giá trị $t>1$ cho hai giá trị $x$ tương ứng. Như vậy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa: $1<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}$.
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( 2t-3 \right)m={{t}^{2}}-2$.
Nhận xét: $t=\dfrac{3}{2}$, không là nghiệm phương trình.
Xét $t\ne \dfrac{3}{2},$ $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$. Xét hàm $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2}{2t-3}$ trên $\left( 1;+\infty \right)\backslash \left\{ \dfrac{3}{2} \right\}$
$g'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-6t+4}{{{\left( 2t-3 \right)}^{2}}}$ ;$g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên, ta cần $m>2$.
Đáp án B.