Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số ${m}$ để phương trình ${\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} - m = 0}$ có hai nghiệm thực phân biệt.
A. ${\left[ { - 1;3} \right]}$.
B. ${\left( { - \infty ;1} \right)}$.
C. ${\left( {1;2} \right)}$.
D. ${\left[ { - 1;2} \right]}$.
A. ${\left[ { - 1;3} \right]}$.
B. ${\left( { - \infty ;1} \right)}$.
C. ${\left( {1;2} \right)}$.
D. ${\left[ { - 1;2} \right]}$.
Ta có $\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}-m\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}=m\left( * \right)$
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}$ với tập xác định $D=\mathbb{R}$ ta có:
$f'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\left( x+1 \right)\dfrac{x+1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}}{{{x}^{2}}-x+1}$ $=\dfrac{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( x+1 \right)\left( 2x-1 \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}$
$=\dfrac{2{{x}^{2}}-2x+2-\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}$ $=\dfrac{3-3x}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}=0\Leftrightarrow x=1$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1<m<2$
m < 2.
Xét $f\left( x \right)=\dfrac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}$ với tập xác định $D=\mathbb{R}$ ta có:
$f'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\left( x+1 \right)\dfrac{x+1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}}{{{x}^{2}}-x+1}$ $=\dfrac{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( x+1 \right)\left( 2x-1 \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}$
$=\dfrac{2{{x}^{2}}-2x+2-\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}$ $=\dfrac{3-3x}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}=0\Leftrightarrow x=1$
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1<m<2$
m < 2.
Đáp án C.