Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số : $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-\left( 2m-3 \right)x+4$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$.
A. $\left[ 0;+\infty \right)$.
B. $\left[ -\dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ;-\dfrac{1}{2} \right]$.
D. $\left( -\infty ;0 \right]$.
Ta có : $y'={{x}^{2}}+4x-2m+3$,
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'\ge 0\text{ }\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$ hay ${{x}^{2}}+4x-2m+3\ge 0$ $\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+\dfrac{3}{2}$, $\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+\dfrac{3}{2}$ trên $\left[ -1;+\infty \right)$.
Ta có : $g'\left( x \right)=x+2$, $\Rightarrow g'\left( x \right)>0\forall x\in \left[ -1;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right)$ trên $\left[ -1;+\infty \right)$ là $g\left( -1 \right)=0.$
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le 0.$
A. $\left[ 0;+\infty \right)$.
B. $\left[ -\dfrac{1}{2};+\infty \right)$.
C. $\left( -\infty ;-\dfrac{1}{2} \right]$.
D. $\left( -\infty ;0 \right]$.
Ta có : $y'={{x}^{2}}+4x-2m+3$,
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'\ge 0\text{ }\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$ hay ${{x}^{2}}+4x-2m+3\ge 0$ $\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$.
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+\dfrac{3}{2}$, $\forall x\in \left( -1;+\infty \right)$ $\left( 1 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x+\dfrac{3}{2}$ trên $\left[ -1;+\infty \right)$.
Ta có : $g'\left( x \right)=x+2$, $\Rightarrow g'\left( x \right)>0\forall x\in \left[ -1;+\infty \right)$ $\Rightarrow $ giá trị nhỏ nhất của $g\left( x \right)$ trên $\left[ -1;+\infty \right)$ là $g\left( -1 \right)=0.$
Vậy $\left( 1 \right)\Leftrightarrow m\le 0.$
Đáp án D.