Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số $y={{x}^{3}}+\left( 3m-1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}x-3$ đạt giá trị cực tiểu tại $x=-1$.
A. $\left\{ 5;1 \right\}.$
B. $\varnothing .$
C. $\left\{ 1 \right\}.$
D. $\left\{ 5 \right\}.$
A. $\left\{ 5;1 \right\}.$
B. $\varnothing .$
C. $\left\{ 1 \right\}.$
D. $\left\{ 5 \right\}.$
Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+2\left( 3m-1 \right)x+{{m}^{2}};\ y''=6x+2\left( 3m-1 \right)$.
Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& y'\left( -1 \right)=0 \\
& y''\left( -1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-2\left( 3m-1 \right)+{{m}^{2}}=0 \\
& -6+2\left( 3m-1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=5 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m>\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=5$.
Lưu ý: Hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực tiểu $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\
& f''\left( {{x}_{0}} \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& y'\left( -1 \right)=0 \\
& y''\left( -1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3-2\left( 3m-1 \right)+{{m}^{2}}=0 \\
& -6+2\left( 3m-1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m=5 \\
& m=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& m>\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=5$.
Lưu ý: Hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực tiểu $x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( {{x}_{0}} \right)=0 \\
& f''\left( {{x}_{0}} \right)>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án D.