Tìm tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\frac{m-\sin x}{{{\cos }^{2}}x}$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{\pi }{6} \right)$.

Ta có ${y}'=\frac{-{{\cos }^{2}}x+2m\sin x-2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x}=\frac{-1+2m\sin x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x}$
Để hàm số nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi }{6} \right)$ thì
${y}'\le 0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right) $ $\Leftrightarrow $ $-{{\sin }^{2}}x+2m\sin x-1\le 0$, $\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)$, vì ${{\cos }^{3}}x>0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi }{6} \right)$ $\left( 1 \right)$
Đặt $\sin x=t,t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow $ $-{{t}^{2}}+2mt-1\le 0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$ $\Leftrightarrow m\le \frac{{{t}^{2}}+1}{2t},\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right) $ $\left( 2 \right)$
Ta xét hàm $f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+1}{2t},\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$
Ta có ${f}'\left( t \right)=\frac{2\left( {{t}^{2}}-1 \right)}{4{{t}^{2}}}<0,\forall t\in \left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $\left( 2 \right)\Leftrightarrow m\le \frac{5}{4}$.