Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số...

Do $1+\sqrt{x+1}\ne 0$ với $\mathrm{\forall }x\in [-1;+\mathrm{\infty })$ nên đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $x^2-mx-3m=0(\ast )$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $D=[-1;+\mathrm{\infty }).$
Trên D ta có: $(\ast )\iff {\displaystyle \frac{x^2}{x+3}}=m$. Ta lập bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x+3}}$ trên D $y^{\prime }={\displaystyle \frac{x^2+6x}{{(x+3)}^2}}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-6(L)\\ & x=0\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $D=[-1;+\mathrm{\infty })$ khi và chỉ khi $m\in (0;{\displaystyle \frac{1}{2}}].$
Ghi chú: Ta có thể chọn vài giá trị của m để thử và loại bớt đáp án. Thí dụ chọn m = 0 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm đứng x = 0, loại D. Chọn m = 1 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm cận đứng $x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{13}}{2}}$, loại B, C.