Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y=\dfrac{1+\sqrt{x+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}-mx-3m}}$ có đúng hai tiệm cận đứng.
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right].$
B. $\left( -\infty ;-12 \right)\cup (0;+\infty ).$
C. $(0;+\infty ).$
D. $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right].$
A. $\left( 0;\dfrac{1}{2} \right].$
B. $\left( -\infty ;-12 \right)\cup (0;+\infty ).$
C. $(0;+\infty ).$
D. $\left[ 0;\dfrac{1}{2} \right].$
Do $1+\sqrt{x+1}\ne 0$ với $\forall x\in [-1;+\infty )$ nên đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình ${{x}^{2}}-mx-3m=0(*)$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $D=[-1;+\infty ).$
Trên D ta có: $(*)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{x+3}=m$. Ta lập bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{x+3}$ trên D $y'=\dfrac{{{x}^{2}}+6x}{{{(x+3)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-6(L) \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $D=[-1;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right].$
Ghi chú: Ta có thể chọn vài giá trị của m để thử và loại bớt đáp án. Thí dụ chọn m = 0 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm đứng x = 0, loại D. Chọn m = 1 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm cận đứng $x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$, loại B, C.
Trên D ta có: $(*)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{x+3}=m$. Ta lập bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)=\dfrac{{{x}^{2}}}{x+3}$ trên D $y'=\dfrac{{{x}^{2}}+6x}{{{(x+3)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-6(L) \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $D=[-1;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right].$
Ghi chú: Ta có thể chọn vài giá trị của m để thử và loại bớt đáp án. Thí dụ chọn m = 0 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm đứng x = 0, loại D. Chọn m = 1 thì đồ thị chỉ có 1 tiệm cận đứng $x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}$, loại B, C.
Đáp án A.