Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+2m \right)x-3$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$.
A. $S=\left[ -1;0 \right]$.
B. $S=\varnothing $.
C. $S=\left\{ -1 \right\}$.
D. $S=\left\{ 1 \right\}$.
A. $S=\left[ -1;0 \right]$.
B. $S=\varnothing $.
C. $S=\left\{ -1 \right\}$.
D. $S=\left\{ 1 \right\}$.
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
${y}'={{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=m+2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}'$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ thì ${y}'\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+2m \right)\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m+2\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-1$.
${y}'={{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+2m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=m+2 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}'$
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ thì ${y}'\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+2m \right)\le 0,\forall x\in \left( -1;1 \right)$.
Từ bảng xét dấu ta thấy để hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ thì
$\left\{ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m+2\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge -1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-1$.
Đáp án C.