Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình...

Chia cả hai vế của bất phương trình cho $3^x$, ta được bất phương trình: $4^x+(2-m){.2}^x+1>0$.
Đặt $t=2^x$.
Do $x\in (0;\mathrm{\infty })\Rightarrow t\in (1;+\mathrm{\infty })$.
Bất phương trình trở thành: $t^2+(2-m).t+1>0\iff t+2+{\displaystyle \frac{1}{t}}>m$.
Xét hàm số $g\left(t\right)=t+2+{\displaystyle \frac{1}{t}}$ trên $(1;+\mathrm{\infty })$.
Bài toán trở thành tìm m để: $m<g\left(t\right),\mathrm{\forall }t\in (1;+\mathrm{\infty })\iff m\le \underset{(1;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(t\right)$.
Ta có $g^{\prime }\left(t\right)=1+\ln t>0,\mathrm{\forall }t\in (1;+\mathrm{\infty })$.
Do đó ta có $m\le \underset{(1;+\mathrm{\infty })}{min}g\left(t\right)=g\left(1\right)=1+2+{\displaystyle \frac{1}{1}}=4$.
Vậy $m\le 4$.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm số $g\left(t\right)$ trên $(1;+\mathrm{\infty })$.

Hoặc ta có thể bấm máy tính (MODE 7 (hoặc 8)) tìm min trên nửa khoảng $[1;+\mathrm{\infty })$ của hàm số $g\left(t\right)$.