Google
Câu hỏi: Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương trình ${{12}^{x}}+\left( 2-m \right){{.6}^{x}}+{{3}^{x}}>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( 0;\infty \right)$.
A. $\left( 4;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;4 \right)$.
C. $\left( 0;4 \right]$.
D. $\left( -\infty ;4 \right]$.
A. $\left( 4;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;4 \right)$.
C. $\left( 0;4 \right]$.
D. $\left( -\infty ;4 \right]$.
Chia cả hai vế của bất phương trình cho ${{3}^{x}}$, ta được bất phương trình: ${{4}^{x}}+\left( 2-m \right){{.2}^{x}}+1>0$.
Đặt $t={{2}^{x}}$.
Do $x\in \left( 0;\infty \right)\Rightarrow t\in \left( 1;+\infty \right)$.
Bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+\left( 2-m \right).t+1>0\Leftrightarrow t+2+\dfrac{1}{t}>m$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=t+2+\dfrac{1}{t}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để: $m<g\left( t \right),\forall t\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)$.
Ta có ${g}'\left( t \right)=1+\ln t>0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right)$.
Do đó ta có $m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=1+2+\dfrac{1}{1}=4$.
Vậy $m\le 4$.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm số $g\left( t \right)$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Hoặc ta có thể bấm máy tính (MODE 7 (hoặc 8)) tìm min trên nửa khoảng $\left[ 1;+\infty \right)$ của hàm số $g\left( t \right)$.
Đặt $t={{2}^{x}}$.
Do $x\in \left( 0;\infty \right)\Rightarrow t\in \left( 1;+\infty \right)$.
Bất phương trình trở thành: ${{t}^{2}}+\left( 2-m \right).t+1>0\Leftrightarrow t+2+\dfrac{1}{t}>m$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=t+2+\dfrac{1}{t}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để: $m<g\left( t \right),\forall t\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)$.
Ta có ${g}'\left( t \right)=1+\ln t>0,\forall t\in \left( 1;+\infty \right)$.
Do đó ta có $m\le \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=g\left( 1 \right)=1+2+\dfrac{1}{1}=4$.
Vậy $m\le 4$.
Bổ trợ: Bảng biến thiên hàm số $g\left( t \right)$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Hoặc ta có thể bấm máy tính (MODE 7 (hoặc 8)) tìm min trên nửa khoảng $\left[ 1;+\infty \right)$ của hàm số $g\left( t \right)$.
Đáp án D.