Google
Câu hỏi: Tìm số tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số
$y=\dfrac{\sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}}{\sqrt{2x+1}-x-1}$.
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
$y=\dfrac{\sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}}{\sqrt{2x+1}-x-1}$.
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
Hàm số có tập xác định là $\left[ -\dfrac{1}{2};+\infty \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}}{\sqrt{2\text{x}+1}-x-1}=-2$ suy ra đường thẳng $y=-2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Lại có: $\sqrt{2\text{x}+1}=x+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1\ge 0 \\
& 2\text{x}+1={{(x+1)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=0$
Với $x=0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}=\sqrt{5} \\
& \sqrt{2\text{x}+1}-x-1=0 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}}{\sqrt{2\text{x}+1}-x-1}=\infty $ suy ra đường thẳng $ x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
* Phương pháp chung
+ Tiệm cận ngang
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left( a;+\infty \right);\left( -\infty ;b \right)$ hoặc $\left( -\infty ;+\infty \right)$ ).
Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f(x)={{y}_{0}};\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f(x)={{y}_{0}}$.
+ Tiệm cận đứng
Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} f(x)=+\infty ;\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} f(x)=-\infty ;\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} f(x)=+\infty ;\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} f(x)=-\infty $
Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}}{\sqrt{2\text{x}+1}-x-1}=-2$ suy ra đường thẳng $y=-2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Lại có: $\sqrt{2\text{x}+1}=x+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+1\ge 0 \\
& 2\text{x}+1={{(x+1)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=0$
Với $x=0$ thì $\left\{ \begin{aligned}
& \sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}=\sqrt{5} \\
& \sqrt{2\text{x}+1}-x-1=0 \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{4{{\text{x}}^{2}}+5}}{\sqrt{2\text{x}+1}-x-1}=\infty $ suy ra đường thẳng $ x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
* Phương pháp chung
+ Tiệm cận ngang
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left( a;+\infty \right);\left( -\infty ;b \right)$ hoặc $\left( -\infty ;+\infty \right)$ ).
Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f(x)={{y}_{0}};\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f(x)={{y}_{0}}$.
+ Tiệm cận đứng
Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} f(x)=+\infty ;\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }} f(x)=-\infty ;\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} f(x)=+\infty ;\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }} f(x)=-\infty $
Đáp án D.