Google
Câu hỏi: Tìm số thực dương $a$ để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}$ và $y=\dfrac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}$ có diện tích đạt giá trị lớn nhất.
A. $2$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
C. $1$.
D. $\sqrt[3]{3}$.
A. $2$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
C. $1$.
D. $\sqrt[3]{3}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 hàm số là: $\dfrac{{{x}^{2}}+2ax+3{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-ax}{1+{{a}^{6}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-a \\
& x=-2a \\
\end{aligned} \right.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số là:
$S=\left| \int\limits_{-2a}^{-a}{\dfrac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}dx} \right|=\left| \dfrac{1}{1+{{a}^{6}}}\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{3}{2}a{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}x \right)\left| \begin{aligned}
& -a \\
& -2a \\
\end{aligned} \right. \right|$
$=\left| \dfrac{1}{1+{{a}^{6}}}\left( -\dfrac{{{a}^{3}}}{3}+\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}-2{{a}^{3}}+\dfrac{8}{3}{{a}^{3}}-6{{a}^{3}}+4{{a}^{3}} \right) \right|$
= $\dfrac{\left| {{a}^{3}} \right|}{6\left( 1+{{a}^{6}} \right)} \overset{Cauchy}{\mathop{\le }} \dfrac{\left| {{a}^{3}} \right|}{12\left| {{a}^{3}} \right|}=\dfrac{1}{12}$. Dấu $''=''\Leftrightarrow {{a}^{6}}=1\Leftrightarrow a=1$,vì $a>0$.
Vậy diện tích $S$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{1}{12}$, khi $a=1$.
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-a \\
& x=-2a \\
\end{aligned} \right.$
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số là:
$S=\left| \int\limits_{-2a}^{-a}{\dfrac{{{x}^{2}}+3ax+2{{a}^{2}}}{1+{{a}^{6}}}dx} \right|=\left| \dfrac{1}{1+{{a}^{6}}}\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{3}{2}a{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}x \right)\left| \begin{aligned}
& -a \\
& -2a \\
\end{aligned} \right. \right|$
$=\left| \dfrac{1}{1+{{a}^{6}}}\left( -\dfrac{{{a}^{3}}}{3}+\dfrac{3}{2}{{a}^{3}}-2{{a}^{3}}+\dfrac{8}{3}{{a}^{3}}-6{{a}^{3}}+4{{a}^{3}} \right) \right|$
= $\dfrac{\left| {{a}^{3}} \right|}{6\left( 1+{{a}^{6}} \right)} \overset{Cauchy}{\mathop{\le }} \dfrac{\left| {{a}^{3}} \right|}{12\left| {{a}^{3}} \right|}=\dfrac{1}{12}$. Dấu $''=''\Leftrightarrow {{a}^{6}}=1\Leftrightarrow a=1$,vì $a>0$.
Vậy diện tích $S$ đạt giá trị lớn nhất là $\dfrac{1}{12}$, khi $a=1$.
Đáp án C.