Google
Câu hỏi: Tìm số phức z thỏa mãn $\left| z-2 \right|=\left| z \right|$ và $\left( z+1 \right)\left( \overline{z}-i \right)$ là số thực.
A. z = 2 - i
B. z = 1 - 2i
C. z = 1 + 2i
D. z = - 1 - 2i
A. z = 2 - i
B. z = 1 - 2i
C. z = 1 + 2i
D. z = - 1 - 2i
Gọi $z=x+iy$ với $x,y\in \mathbb{R}$ ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| x-2 \right|=\left| z \right| \\
& \left( x+1 \right)\left( \overline{z}-1 \right)\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& \left( x+1+iy \right)\left( x-iy-i \right)\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& \left( x+1+iy \right)\left( x-iy-i \right)\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& \left( -x-1 \right)\left( y+1 \right)+xy=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \right.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| x-2 \right|=\left| z \right| \\
& \left( x+1 \right)\left( \overline{z}-1 \right)\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& \left( x+1+iy \right)\left( x-iy-i \right)\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& \left( x+1+iy \right)\left( x-iy-i \right)\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& \left( -x-1 \right)\left( y+1 \right)+xy=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Đáp án B.