Google
Câu hỏi: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{2}^{2{{x}^{2}}-15x+100}}-{{2}^{{{x}^{2}}+10x-50}}+{{x}^{2}}-25x+150<0$
A. 6.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
A. 6.
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& 2{{x}^{2}}-15x+100=a \\
& {{x}^{2}}+10x-50=b \\
\end{aligned} \right. $. Khi đó bất phương trình trở thành $ {{2}^{a}}-{{2}^{b}}+(a-b)<0$.
$\Leftrightarrow {{2}^{a}}+a<{{2}^{b}}+b$ (I).
Xét hàm số $f(t)={{2}^{t}}+t$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0,\forall t\in \left( -\infty ;+\infty \right)$.
Suy ra, hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Từ (I) ta lại có $f(a)<f(b)\Leftrightarrow a<b\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-15x+100<{{x}^{2}}+10x-50$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-25x+150<0\Leftrightarrow x\in \left( 10;15 \right)$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ 11;12;13;14 \right\}$.
Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
& 2{{x}^{2}}-15x+100=a \\
& {{x}^{2}}+10x-50=b \\
\end{aligned} \right. $. Khi đó bất phương trình trở thành $ {{2}^{a}}-{{2}^{b}}+(a-b)<0$.
$\Leftrightarrow {{2}^{a}}+a<{{2}^{b}}+b$ (I).
Xét hàm số $f(t)={{2}^{t}}+t$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$. Ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+1>0,\forall t\in \left( -\infty ;+\infty \right)$.
Suy ra, hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Từ (I) ta lại có $f(a)<f(b)\Leftrightarrow a<b\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-15x+100<{{x}^{2}}+10x-50$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-25x+150<0\Leftrightarrow x\in \left( 10;15 \right)$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ 11;12;13;14 \right\}$.
Vậy bất phương trình có 4 nghiệm nguyên.
Đáp án C.