Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left(...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+25>0 \\
& x>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x>0$
${{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+25 \right)>2{{\log }_{2}}x\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+25 \right)-2{{\log }_{2}}x>0$.
Xét $f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+25 \right)-2{{\log }_{2}}x$ với $x>0$
${f}'\left( x \right)=\dfrac{3{{x}^{2}}+6x}{\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+25 \right)\ln 3}-\dfrac{2}{x\ln 2}=\dfrac{3{{x}^{3}}\ln 2+6{{x}^{2}}\ln 2-2{{x}^{3}}\ln 3-6{{x}^{2}}\ln 3-50\ln 3}{\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+25 \right)\ln 3\cdot x\ln 2}$
$=\dfrac{\left( 3\ln 2-2\ln 3 \right){{x}^{3}}+6\left( \ln 2-\ln 3 \right){{x}^{2}}-50\ln 3}{\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+25 \right)\ln 3\cdot x\ln 2}<0,\forall x>0$.
Suy ra ${f}'\left( x \right)<0,\forall x>0.$
Ta có:
Từ bảng biến thiên $f\left( x \right)>0$ khi $0<x<8$, vậy bất phương trình có 7 số nguyên.