Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton của...

The Knowledge · 28/3/22

Câu hỏi: Tìm số hạng không chứa

x

trong khai triển nhị thức Newton của

{(2 x^{2} - \frac{3}{x})}^{n} (x \neq 0)

, biết rằng

1 \cdot C_{n}^{1} + 2 \cdot C_{n}^{2} + 3 \cdot C_{n}^{3} + \dots + n \cdot C_{n}^{n} = 256 n

(

C_{n}^{k}

là số tổ hợp chập

k

của

n

phần tử).
A. 4889888.
B. 48988.
C. 489888.
D. 49888

{(1 + x)}^{n} = \sum_{i = 0}^{n} C_{n}^{i} x^{i} \Rightarrow n {(1 + x)}^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} i C_{n}^{i} x^{i - 1}

(1).
Thay

x = 1

vào (1) ta được

1 \cdot C_{n}^{1} + 2 \cdot C_{n}^{2} + 3 \cdot C_{n}^{3} + \dots + n \cdot C_{n}^{n} = n {.2}^{n - 1}

(2)
Theo bài ra

1 \cdot C_{n}^{1} + 2 \cdot C_{n}^{2} + 3 \cdot C_{n}^{3} + \dots + n \cdot C_{n}^{n} = 256 n

(3).
Từ (2) và (3) ta được

n {.2}^{n - 1} = 256 n \Rightarrow 2^{n - 1} = 2^{8} \Rightarrow n - 1 = 8 \Leftrightarrow n = 9

(Do

n \geq 1, n \in N

).
Với

n = 9

ta được

{(2 x^{2} - \frac{3}{x})}^{9} = \sum_{i = 0}^{9} C_{9}^{i} {(2 x^{2})}^{9 - i} {(- 3 x^{- 1})}^{i} = \sum_{i = 0}^{9} C_{9}^{i} . 2^{9 - i} . {(- 3)}^{i} . x^{18 - 3 i}

.
Gọi

T

là số hạng không chứa

x

trong khai triển ta có

{\begin{aligned} T = C_{9}^{i} 2^{9 - i} . {(- 3)}^{i} \\ 18 - 3 i = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} T = C_{9}^{6} 2^{3} . {(- 3)}^{6} \\ i = 6 \end{aligned} \Rightarrow T = 489888

.

Đáp án C.

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của...