Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton của...

${{\left( 1+x \right)}^{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n}{C_{n}^{i}}{{x}^{i}}\Rightarrow n{{\left( 1+x \right)}^{n-1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{iC_{n}^{i}}{{x}^{i-1}}$ (1).
Thay $x=1$ vào (1) ta được $1\cdot C_{n}^{1}+2\cdot C_{n}^{2}+3\cdot C_{n}^{3}+\ldots +n\cdot C_{n}^{n}=n{{.2}^{n-1}}$ (2)
Theo bài ra $1 \cdot C_{n}^{1}+2 \cdot C_{n}^{2}+3 \cdot C_{n}^{3}+\ldots+n \cdot C_{n}^{n}=256 n$ (3).
Từ (2) và (3) ta được $n{{.2}^{n-1}}=256n\Rightarrow {{2}^{n-1}}={{2}^{8}}\Rightarrow n-1=8\Leftrightarrow n=9$ (Do $n\ge 1,n\in \mathbb{N}$ ).
Với $n=9$ ta được ${{\left( 2{{x}^{2}}-\dfrac{3}{x} \right)}^{9}}=\sum\limits_{i=0}^{9}{C_{9}^{i}}{{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{9-i}}{{\left( -3{{x}^{-1}} \right)}^{i}}=\sum\limits_{i=0}^{9}{C_{9}^{i}.}{{2}^{9-i}}.{{\left( -3 \right)}^{i}}.{{x}^{18-3i}}$.
Gọi $T$ là số hạng không chứa $x$ trong khai triển ta có $\left\{ \begin{aligned}
& T=C_{9}^{i}{{2}^{9-i}}.{{\left( -3 \right)}^{i}} \\
& 18-3i=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& T=C_{9}^{6}{{2}^{3}}.{{\left( -3 \right)}^{6}} \\
& i=6 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow T=489888$.