Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newtơn của $P(x)={{\left({{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{15}}$.

Ta có: $P(x)={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{15}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{15-k}}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{15}{C_{15}^{k}{{x}^{30-3k}}} (*)$
Trong tổng (*), số hạng $C_{15}^{k}{{x}^{30-3k}}$ không chứa $x$ khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& 30-3k=0 \\
& 0\le k\le 15 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow k=10$.
Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newtơn $P(x)={{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{15}}$ là $C_{15}^{10}=3003$.