Tìm số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số...

Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+4x+\left( 3m-1 \right)$.
Để hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ thì
${y}'\le 0 \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+4x+\left( 3m-1 \right)\le 0 \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$
$\Leftrightarrow m\le \dfrac{1}{3}\left( 3{{x}^{2}}-4x+1 \right) \forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)$
$\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -\infty ;-1 \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$ với $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}$ trên khoảng $(-\infty ;-1)$.
Hàm số bậc hai $f\left( x \right)={{x}^{2}}-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;\dfrac{2}{3} \right)$ nên nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$.
Suy ra: $\forall x\in \left( -\infty ;-1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)>f\left( -1 \right)=1+\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{3}$.
Vậy $m\le \dfrac{8}{3}$. Mà $\left\{ \begin{aligned}
& m\in Z \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m\in \left\{ 1;2 \right\}.$