Google
Câu hỏi: Tìm số giá trị nguyên của tham số $a\le 2$ để phương trình ${{e}^{{{e}^{2x}}-a}}-2x-a=0$ có nhiều nghiệm nhất.
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 0.
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 0.
Đặt ${{e}^{2x}}-a=2t$, phương trình đã cho trở thành: ${{e}^{2t}}=2x+a$ $\left( 1 \right)$.
Xét hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}=2t+a \\
{{e}^{2t}}=2x+a \\
\end{array}\Rightarrow {{e}^{2x}}-{{e}^{2t}}=2t-2a\Leftrightarrow {{e}^{2x}}+2x={{e}^{2t}}+2t \right. $ $ \left( 2 \right)$.
Xét hàm số $f(t)={{e}^{t}}+t$ ta có $f\prime (t)={{e}^{t}}+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow f(2x)=f(2t)\Leftrightarrow 2x=2t\Leftrightarrow x=t$
$\Rightarrow {{e}^{2x}}=2x+a\Leftrightarrow a={{e}^{2x}}-2x\left( 3 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\text{e}}^{2x}}-2x$.
Ta có $g\prime (x)=2{{e}^{2x}}-2=0\Leftrightarrow {{e}^{2x}}=1\Leftrightarrow x=0$.
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình (1) có nhiều nghiệm nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nhiều nghiệm nhất vậy a>1.
Xét hệ $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{e}^{2x}}=2t+a \\
{{e}^{2t}}=2x+a \\
\end{array}\Rightarrow {{e}^{2x}}-{{e}^{2t}}=2t-2a\Leftrightarrow {{e}^{2x}}+2x={{e}^{2t}}+2t \right. $ $ \left( 2 \right)$.
Xét hàm số $f(t)={{e}^{t}}+t$ ta có $f\prime (t)={{e}^{t}}+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow f(2x)=f(2t)\Leftrightarrow 2x=2t\Leftrightarrow x=t$
$\Rightarrow {{e}^{2x}}=2x+a\Leftrightarrow a={{e}^{2x}}-2x\left( 3 \right)$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\text{e}}^{2x}}-2x$.
Ta có $g\prime (x)=2{{e}^{2x}}-2=0\Leftrightarrow {{e}^{2x}}=1\Leftrightarrow x=0$.
BBT:
Đáp án B.