Tìm số giá trị nguyên của $m\in \left[ -2020;2020 \right]$ để hàm...

Phương pháp:
- Tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)=\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5+m \right|$, sử dụng công thức tính đạo hàm: $(|u|)'=\dfrac{u}{|u|}.u'$
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( a;b \right)$ khi nó xác định và liên tục trên khoảng $\left( a;b \right)$ đồng thời
$f'(x)\ge 0,\forall x\in (a;b)$. (Dấu '=' chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm).
- Giải bất phương trình $f'(x)\ge 0,\forall x\in (5;+\infty )$ để tìm giá trị của $m$ thỏa mãn.
Cách giải:
Ta có:
$\begin{array}{*{35}{l}}
y=g(x)=\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5+m \right| \\
\Rightarrow g'(x)=\dfrac{\left( 3{{x}^{2}}-12x \right).\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5+m \right)}{\left| {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5+m \right|} \\
\end{array}$
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 5;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $g'(x)\ge 0,\forall x\in (5;+\infty )$
Do $3{{x}^{2}}-12x=3x(x-4)>0,\forall x\in (5;+\infty )$ nên ta có:

$\begin{aligned}
& g'(x)\ge 0,\forall x\in (5;+\infty ) \\
& \begin{array}{*{35}{l}}
\Leftrightarrow {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5+m\ge 0,\forall x\in (5;+\infty ) \\
\Leftrightarrow -m\le {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5,\forall x\in (5;+\infty ) \\
\end{array} \\
& \Leftrightarrow -m\le {{\underset{(5;+\infty )}{\mathop{\min }} }_{{}}}f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5 \\
\end{aligned}$
BBT của hàm số $f(x)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+5$ như sau:

Từ BBT ta thấy $\underset{_{(5;+\infty )}}{\mathop{\min }} f(x)=f(5)=-20\Rightarrow -m\le -20\Leftrightarrow m\ge 20$
Mặt khác $m\in \mathbb{Z};m\in [-2020;2020]$ nên $m\in \left\{ 20;21;22;23;....;2020 \right\}$
Vậy có $2001$ giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.