Google
Câu hỏi: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}$.
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 3.
Điều kiện: $\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 3x+1\ge 0 \\
& 4\sqrt{3x+1}-3x-5\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& 3x+1-4\sqrt{3x+1}+4\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& {{\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& \sqrt{3x+1}-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& 3x+1\ne 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& x\ne 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Ta có: $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-1}{-{{\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)}^{2}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{3x+1}+2}{3\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)}=+\infty $.
$\Rightarrow x=1$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{3}$ là đường TCN của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lưu ý:
Đường thẳng $x=a$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số.
$y=f\left( x \right)=\dfrac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}\Leftrightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\infty $.
Đường thẳng $y=b$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=b$.
& \left\{ \begin{aligned}
& 3x+1\ge 0 \\
& 4\sqrt{3x+1}-3x-5\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& 3x+1-4\sqrt{3x+1}+4\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& {{\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)}^{2}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& \sqrt{3x+1}-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& 3x+1\ne 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -\dfrac{1}{3} \\
& x\ne 1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Ta có: $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{x-1}{-{{\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)}^{2}}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{3x+1}+2}{3\left( \sqrt{3x+1}-2 \right)}=+\infty $.
$\Rightarrow x=1$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow y=-\dfrac{1}{3}$ là đường TCN của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lưu ý:
Đường thẳng $x=a$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số.
$y=f\left( x \right)=\dfrac{g\left( x \right)}{h\left( x \right)}\Leftrightarrow \underset{x\to a}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\infty $.
Đường thẳng $y=b$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\Leftrightarrow \underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=b$.
Đáp án C.