Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số...

Điều kiện: $\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{rl}& 3x+1\ge 0\\ & 4\sqrt{3x+1}-3x-5\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & 3x+1-4\sqrt{3x+1}+4\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & {(\sqrt{3x+1}-2)}^2\ne 0\end{array}\\ & \iff \{\begin{array}{rl}& x\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & \sqrt{3x+1}-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & 3x+1\ne 4\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& x\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & x\ne 1\end{array}\end{array}$
Ta có: $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}}=\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x-1}{-{(\sqrt{3x+1}-2)}^2}}=\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{3x+1}+2}{3(\sqrt{3x+1}-2)}}=+\mathrm{\infty }$.
$\Rightarrow x=1$ là đường TCĐ của đồ thị hàm số.
$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x-1}{4\sqrt{3x+1}-3x-5}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ là đường TCN của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.
Lưu ý:
Đường thẳng $x=a$ được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số.
$y=f\left(x\right)={\displaystyle \frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}}\iff \underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }$.
Đường thẳng $y=b$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)\iff \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=b$.