Google
Câu hỏi: Tìm số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên $\left[ 0;1 \right]$ :
${{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}=\left( m+1 \right)\left( {{2}^{2+x}}-{{2}^{2-x}} \right)+16-8m$ ?
A. 2
B. 5
C. 4
D. 3
${{4}^{x+1}}+{{4}^{1-x}}=\left( m+1 \right)\left( {{2}^{2+x}}-{{2}^{2-x}} \right)+16-8m$ ?
A. 2
B. 5
C. 4
D. 3
Phương trình tương đương với: $4\left( {{4}^{x}}+{{4}^{-x}} \right)=4\left( m+1 \right)\left( {{2}^{x}}-{{2}^{-x}} \right)+16-8m$
Đặt $t={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$.
Ta có: ${t}'={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}>0$.
Do đó $\forall x\in \left[ 0;1 \right]$ thì $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
Ta có: ${{t}^{2}}={{4}^{x}}+{{4}^{-x}}-{{2.2}^{x}}{{.2}^{-x}}\Rightarrow {{4}^{x}}+{{4}^{-x}}={{t}^{2}}+2$.
Phương trình trở thành: $4\left( {{t}^{2}}+2 \right)=4t\left( m+1 \right)+16-8m$
$\Leftrightarrow m\left( t-2 \right)=\left( t-2 \right)\left( t+1 \right)\Leftrightarrow m=t+1$ (vì $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$ ).
Để phương trình đã cho có nghiệm trên $\left[ 0;1 \right]$ thì phương trình $m=t+1$ phải có nghiệm $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
Suy ra $m\in \left[ 1;\dfrac{5}{2} \right]$.
Chú ý giả thiết các bi cùng màu giống nhau.
Đặt $t={{2}^{x}}-{{2}^{-x}}$.
Ta có: ${t}'={{2}^{x}}+{{2}^{-x}}>0$.
Do đó $\forall x\in \left[ 0;1 \right]$ thì $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
Ta có: ${{t}^{2}}={{4}^{x}}+{{4}^{-x}}-{{2.2}^{x}}{{.2}^{-x}}\Rightarrow {{4}^{x}}+{{4}^{-x}}={{t}^{2}}+2$.
Phương trình trở thành: $4\left( {{t}^{2}}+2 \right)=4t\left( m+1 \right)+16-8m$
$\Leftrightarrow m\left( t-2 \right)=\left( t-2 \right)\left( t+1 \right)\Leftrightarrow m=t+1$ (vì $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$ ).
Để phương trình đã cho có nghiệm trên $\left[ 0;1 \right]$ thì phương trình $m=t+1$ phải có nghiệm $t\in \left[ 0;\dfrac{3}{2} \right]$.
Suy ra $m\in \left[ 1;\dfrac{5}{2} \right]$.
Chú ý giả thiết các bi cùng màu giống nhau.
Đáp án A.